6 Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса, отстоящая от оси вращения на расстояние, обладает скоростью. Следовательно, ее кинетическая энергия равна

.

Сумма энергий даст кинетическую энергию всего тела:

,

или

(4.29)

Найдем работу, совершаемую внешними силами при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением (3.25) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению кинетической энергии тела. Таким образом,

или, согласно (4.29),. Так как осьсовпадает с осью вращения, тои.

Но согласно (4.21), .

Учитывая, что , получаем

(4.30)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол равна

(4.31)

В случае если , то.

7 Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью некоторой точкии вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью. В этом случае скорость-той элементарной массы тела определяется формулой

, (4.32)

где – радиус-вектор– той массы, проведенный из точки(см. формулу (1.25))

и рис. 11.

Рис. 11

Кинетическая энергия -той элементарной массы равна

.

Далее

.

Кинетическая энергия равна

.

Разобьем полученное выражение на три слагаемых:

Как следует из рис. 9, , где- расстояние-той массы от оси вращения.

Соответственно третье слагаемое равно

, где-момент инерции тела относительно оси вращения.

Преобразуем второе слагаемое следующим образом:

,

– радиус-вектор центра масс, проведенный из точки.

Можно записать, что

. (4.33)

Если в качестве точки взять центр масс тела, тои формула (4.33) упростится следующим образом:

, (4.34)

где – скорость центр масс,– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, полная кинетическая твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии его вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

Задачи

Задача 1Однородный цилиндр массыи радиусаскатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом (рис.). Найдем уравнения движения цилиндра.

Решение

На рис. изображены силы, действующие на тело, и точки их приложения:

– сила тяжести,– сила реакции опоры,

– сила трения покоя.

В проекциях на положительные направления изапишем уравнения движения:

, (1)

, (2)

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет связь между ускорениями:

(3)

Решение трех уравнений дает возможность найти ускорения и, а также силу.

Задача 2 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу

= 80 г (рис.), перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами= 100 г и= 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Решение

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

:(1)

:(2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (3)

где

– момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения, угловое ускорение. Согласно третьему закону Ньютона,. Решая систему трех уравнений, получим

.

Отсюда ускорение равно:

. (4)

После подстановки числовых значений, получим

(м/с²)

Задача 3Маховик в виде сплошного диска радиусом= 0,2 м и массой= 50 кг раскручен до частоты вращения

= 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через= 50 с. Найти моментсил трения.

Решение

Работа сил трения равна изменению кинетической энергии диска

,

где – начальная угловая скорость диска,– момент инерции диска,– угол, на который повернется диск до остановки при равнозамедленном движении.

Отсюда .

Произведем вычисления

(Н·м)

Задача 4 Платформа в виде сплошного диска радиусом = 1,5 м и массой= 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой=10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой= 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения , совпадающей с геометрической осью платформы равен нулю. При этом момент импульсасистемы платформа – человек остается постоянным.

, (1)

где ,– момент инерции платформы,– момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

,

или

, (2)

где штрихованные величины относятся к конечному состоянию.

Учитывая, что ,,,,,

получим

.

Отсюда

.

Произведем вычисления

=1 (м/с).

Задача 5С наклонной плоскости высотойскатываются 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

Решение

Полная кинетическая энергия скатывающегося тела:

.

Так как по закону сохранения механической энергии или, то

,

откуда

Скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой , равна

1) Для обруча , имеем.

,.

2) Для сплошного цилиндра , откуда.

,.

3) Для шара , откуда.

,.

Тесты

1. Единицей измерения модуля момента импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

2. Модуль момента силы в системе СИ измеряют в…

1) …в ньютонах на метр [Н∙м]; 2) …в ньютонах, деленных на метр [Н/м]; 3) …в ньютонах на метр квадратный [H/m²]; 4) …в метрах квадратных [м]; 5) …в ньютонах [Н].

3. Единицей измерения момента инерции тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

4. Дано выражение: , где– вектор силы,– радиус-вектор точки приложения силы. Это выражение определяет…

1) …работу силы; 2) …момент силы; 3) …импульс момента силы; 4) …кинетическую энергию точки; 5) …изменение импульса точки.

5. Моментом импульса называется…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

6. В основном законе вращения тела вокруг неподвижной оси ; где– вектор момента силы,– вектор момента импульса,– время. Как направлены вектораи?

1) …оба перпендикулярно оси вращения и не параллельны друг другу; 2) …взаимно перпендикулярны и каждый перпендикулярен вектору угловой скорости; 3) …вдоль оси вращения в одну сторону; 4) …вдоль оси вращения в противоположные стороны; 5) …оба по касательной к траектории вращающейся точки.

7. Укажите в ответе номер правильного выражения для закона сохранения момента импульса при вращении точки вокруг неподвижной оси…

1) …,– импульс тела; 2) …,-момент силы; 3) …,– момент инерции материальной точки,– угловая скорость вращения точки; 4), – угловое ускорение; 5) ….

8. При каком виде равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией?

1) …безразличном; 2) …неустойчивом; 3) …безразличном и неустойчивом; 4) устойчивом; 5) …при любом виде равновесия.

9. Общее условие равновесия тел можно записать в виде следующих уравнений…

1) …; 2) …; 3) …и; 4) …; 5)и.

10. Условие равновесия рычага имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) ….

11. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

12. При равномерном вращении тела сохраняется вектор…

1) …скорости ; 2) …нормального ускорения; 3) …тангенциального ускорения; 4) …импульса; 5) …момента импульса.

13. Момент инерции тела Iотносительно оси, состоящего из частиц массой, равен…

1) …,– модуль угловой скорости; 2) …,L– момент импульса; 3) …; 4) …; 5) ….

14. Главный момент внешних сил связан с угловой скоростью основным законом динамики для вращательного движения. Укажите номер выражения для момента сил…

1) …,r – радиус, m – масса; 2) …; 3) …; 4); 5) ….

15. Единицей измерения модуля импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

16. Закон сохранения момента импульса Lможно записать выражением…

1) …,M –момент внешних сил; 2) …,m – масса, v – модуль скорости, h– высота тела; 3) …, гдеI – момент инерции; – модуль угловой скорости; 4) …; 5) ….

17. Какое из приведенных выражений позволяет записать момент импульса твердого тела?

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

18. Модуль момента силы можно вычислить по формуле…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

19. Дано выражение: , где– момент импульса материальной точки,– время. Это выражение определяет…

1) …ускорение точки; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …вектор результирующей сил, действующих на точку; 4) …вектор силы в данной точке; 5) …вектор результирующего момента сил, действующих на точку.

20. Невесомая доска покоится на двух опорах (рис. 6). Правая опора делит длину доски в отношении 1:3. На ее правый конец падает тело массой m₂= 1 кг, скорость которого в момент удараv₂. Если после удара это тело полностью теряет свою скорость, то тело массойm₁= 1 кг начнет двигаться со скоростью…

Рис. 6

1) …v₁ = v₂; 2) …v₁ = v₂; 3) …v₁ = v₂; 4) …v₁ = 6 v₂; 5) …v₁ = 3 v_2.

17

studfiles.net

Кинетическая энергия диска катящегося по горизонтальной поверхности. Вращательное движение

Cтраница 1

Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия всего механизма может быть определена как сумма кинетических энергий звеньев.  

Полная кинетическая энергия, следовательно, равна энергии движения, помноженной па некоторый множитель. Таким образом, энергия, сообщенная газу нагреванием его, распределяется в известной пропорции между энергией поступательного движения и энергией внутреннего движения каждой молекулы.  

Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия осколков должна равняться кинетической энергии снаряда плюс работа (энергия, превратившаяся в кинетическую энергию осколков), совершенная при взрыве, и, таким образом, она больше, чем первоначальная кинетическая энергия снаряда до взрыва.  

Полная кинетическая энергия молекул комнатного воздуха пропорциональна произведению числа молекул на температуру. Если воздух считать идеальным газом, то эта энергия молекул пропорциональна также произведению давления воздуха на объем комнаты. При нагревании воздуха в комнате объем последней, естественно, не изменяется. Менее очевидно, что не изменяется и давление. Однако, поскольку комната не изолирована и всегда сообщается с окружающим пространством, давление воздуха внутри нее равно внешнему атмосферному давлению. Таким образом, когда вы согреваете комнату, давление и объем воздуха внутри нее сохраняются прежними, соответственно не изменяется и полная энергия находящихся в комнате молекул воздуха. Это, конечно, возможно лишь потому, что по мере возрастания температуры часть молекул воздуха уходит из помещения.  

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр тяжести.  

Если полная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одна и та же или точно указано, на сколько она изменяется в результате столкновения, то поставленная задача решается однозначно. Неизвестными являются шесть величин – шесть составляющих импульса обеих частиц. Законы сохранения дают четыре равенства: одно, соответствующее сохранению скалярной величины энергии (с учетом возможной потери ее, если столкновение неупругое) и три, выражающие сохранение векторной величины полного импульса.  

Диаграмма полной кинетической энергии, которой обладает механизм во время установившегося движения.  

Определить полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их возникновения.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от этой температуры.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.  

Для подсчета полной кинетической энергии нужно знать, во-первых, положение мгновенной оси (от нее зависит У) и, во-вторых, угловую скорость вращения со. Определение этих величин в общем случае затруднительно, так как положение оси в теле может меняться. Однако в частном случае плоского движения эта задача упрощается, ибо ось вращения сохраняет постоянное направление в теле.  

Страница 1 из 3

129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R.

133. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

135. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

136. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой масса катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

137. Полная кинетическая энергия T диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию T 1 поступательного и T 2 вращательного движения диска.

138. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v 1 = 1,4 м/с, после удара v` 1 = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка двигалась в течение t1 =15c со скоростью V1 =15м/с, t2 =10c со скоростью V2 =8м/с и t3 =6с со скоростью V3 =20м/с. Чему равна средняя скорость за все время движения?

Дано: t1 =15c; V1 =15м/с; t2 =10c; V2 =8м/с; t3 =6с; V3 =20м/с.

Найти: V ср .

Решение. Средняя скорость Vср = S t , где S=S1 +S2 +S3 =V1 t1 +V2 t2 +V3 t3 ,а t=t1 +t2 +t3 .

V ср = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t 3 . t 1+ t 2+ t 3

Ответ: Vср =8,9м/с.

Задача 2. Первую половину пути тело прошло за время t1 =2c, вторую – за время t2 =8c. Чему равна средняя скорость на длине пути 20м?

Дано: t1 =2c; t2 =8c; S1 =S2 =S/2; S=20м.

Найти: V ср .

Решение. Средняя скоростьV ср = S t = t 1 + S t 2 .

Ответ: Vср =2,0м/с.

Задача 3. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 и x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 , где A1 =4м/с, B1 =8м/с2 , C1 =-16м/с3 , A2 =2м/с, B2 =-4м/с2 , C2 =1м/с3 . В какой момент времени ускорения этих тел

будут одинаковыми?

Дано: x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 ; x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 ; A1 =4м/с; B1 =8м/с2 ; C1 =-16м/с3 ; A2 =2м/с; B2 =-4м/с2 ; C2 =1м/с3 .

Найти: t.

Решение. Найдем ускорения материальных точек как производные второго порядка от уравнений x(t):

a1 (t)=x1 ´´(t)=2B1 +6C1 t a2 (t)=x2 ´´(t)=2B2 +6C2 t.

Приравнивая правые части находим t:

elektrokomplektnn.ru

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ_i=ωr_i, тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J – момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν₀=720 мин^-1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Решение

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

IΔω = MΔt

где I=mr²– момент инерции диска; Δω =ω – ω₀, причём ω =0 конечная угловая скорость, ω₀=2πν₀ – начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

-mr² 2πν₀=МΔt (1)

откуда

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω₀ – βΔt, так как ω=0, ω₀ = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n= 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N= 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Решение:

Момент сил терния М₁ первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

M₁Δt = Iω₂– Iω₁

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr² – момент инерции маховика , ω₁= 2πν и ω₂= 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М₂ второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE_к:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.

Тогда , откуда

Отношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m₁ и m₂ (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Решение

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m₁ и m₂ будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m₂ > m₁ .

Тогда груз m₂ опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m₁ и m₂ , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T₁ взят со знаком минус, так как сила T₁ стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I – момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

где R – радиус цилиндра; β – угловое ускорение цилиндра.

Так как проскальзывания нити нет, то . С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Далее легко найти T₁ и T₂ и их отношение

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону . Определить момент приложенной силы.

Решение

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения . Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как . Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ – плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Так как

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Решение

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(J_i-момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

J₀ω₁ = J₂ω₂. (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

J₀ = mℓ²/12. (3)

По теореме Штейнера

J =J₀ +mа²

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а– расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J₂ =J₀ +mа², J₂ = mℓ²/12+m(ℓ/2)² = mℓ²/3. (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

mℓ² ω₁/12= mℓ² ω₂/3

откуда

ω₂ = ω₁/4 ω₂ =10с-1/4=2,5с^-1

Пример 2.6. Человек массой m=60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν₁=12мин^-1, переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν₂ будет тогда вращаться платформа.

Дано: m=60кг, М=120кг, ν₁=12мин^-1 = 0,2с^-1.

Найти: ν₁

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

I₁ω₁= I₂ω₂

где – момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен(R – радиус платформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR²).

– момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω₁= 2π ν₁ и ω₁= 2π ν₂.

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

откуда искомая частота вращения

Ответ: ν₂=24мин^-1.

studfiles.net

Обруч и диск обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью

Обруч и диск обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. кинетическая энергия обруча 4 дж.найти кинетическую энергию диска

 Кинетическая энергия диска в этом случае будет состоять из кинетической энергии линейного перемещения и кинетической энергии вращения.

                     (1) где m – масса, V – линейная скорость, J – момент инерции, w – угловая скорость.

Для диска

              (2)                         (3)  

С учетом (2) и (3) формула (1) приобретает вид:

        (4)   Для обруча момент инерции

   

Кинетическая энергия обруча аналогично кинетической энергии диска:

           (5)

По условию задачи кинетическая энергия обруча нам известна

             (6) Подставим из (6) в (4), получим искомую энергию диска:    

Ответ:   Кинетическая энергия диска составляет 3 Дж.

 

ivandriver.blogspot.com

Кинетическая энергия и работа при вращательном движении

Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где – ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i-той элементарной массы будет равна

.

Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому

.

Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно

. (5.30)

Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой .

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид

.

Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела

.

Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение

.

В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения

.

С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду

, (5.31)

где – проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, – угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.

Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело

. (5.32)

В случае, если , то формула упрощается

. (5.33)

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.

Гироскоп

Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С₁С₂, проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В₁В₂, перпендикулярной к С₁С₂. Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А₁А₂, перпендикулярной к осям С₁С₂ и В₁В₂. Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.

Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.

 

 

1) Устойчивость.

При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.

и

Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.

Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал

. (5.34)

Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.

Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.

2). Гироскопический эффект.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О₁О₁ и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О₂О₂. Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения

3). Прецессия гироскопа.

Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).

Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.

Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине

,

где – масса гироскопа, – расстояние от точки О до цента масс гироскопа, – угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.

Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.

Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен

,

где – момент импульса гироскопа, а – его приращение за время .

Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии

. (5.35)

Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .

В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.

 

Примеры применения законов динамики

При вращательном движении

1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.

По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая

,

где – момент инерции человека и скамьи, и – момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и – угловые скорости системы.

Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна

.

Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы

.

 

2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180⁰. При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.

Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен

,

где – момент инерции колеса, – угловая скорость его вращения.

После поворота колеса на угол 180⁰ момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим

,

где – момент инерции системы «человек-платформа», – угловая скорость вращения скамьи с человеком.

По закону сохранения момента импульса

и .

В итоге, находим скорость вращения скамьи

.

3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Решение

В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем

.

Здесь – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.

Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим

,

откуда

.

4. Стержень длиной L=1,5 м и массой m₁=10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m₂=10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение

Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса

.

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса

.

Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле

,

где – момент инерции стержня относительно точки подвеса, – момент инерции пули, – угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.

Решая после подстановки полученное уравнение, найдем

.

Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:

,

где – высота поднятия центра масс данной системы.

Проведя необходимые преобразования, получим

Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением

.

Проведя вычисления, получим =0,1p=18⁰.

 

5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I, радиус блока r. Массой нити пренебречь.

 

Решение

Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики

Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением

Решая эти уравнения, получим

После чего находим T₁ и T₂ .

 

6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M = 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h =1 м до нижнего положения. Радиус шкива r=3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m=250 г каждый на расстоянии R = 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.

 

Решение

Составим уравнения динамики для данной системы:

Угловое ускорение шкива связано с ускорением груза соотношением , а момент инерции грузов креста Обербека равен .

Подставляя данные выражения и решая систему уравнений относительно ускорения, получим

Время опускания груза определяется из уравнения пути равноускоренного движения

.

Вычисления дают t=4,47с.

7. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой m , туго насаженный на ось радиусом r , которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях (рис.5.22). Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить ускорение поступательного движения маятника и силу натяжения нити.

Решение

Уравнения динамики для поступательного и вращательного движения маятника Максвелла имеют вид

В данной системе уравнений Т – сила натяжения одной нити, – момент инерции диска, а – угловое ускорение.

Решая уравнения, найдем: .

Натяжение нити определим из первого уравнения

.

8. Сплошной однородный диск радиуса R, вращающийся с угловой скоростью , кладут основанием на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов сделает диск до остановки, если коэффициент трения между основанием диска и горизонтальной поверхностью равен μ.

Решение

Сила трения приложена к каждому участку диска, и так как эти участки находятся на различных расстояниях от оси, то и моменты сил трения, приложенные к этим участкам, различны. Для нахождения результирующего момента применим метод дифференцирования. Разделим диск на узкие кольца. Одно такое кольцо радиусом r и шириной dr заштриховано на рис.5.23. Площадь такого кольца

,

а сила трения, действующая на выделенное кольцо,

,

где h – толщина диска, ρ – плотность материала диска.

Момент этой силы трения равен

.

Интегрируя по r от нуля до R, получаем суммарный момент сил трения

.

Работа, совершенная силами трения, определится по формуле

,

где – угол поворота диска, а N – число оборотов диска до полной остановки.

С другой стороны, работа сил трения равна убыли кинетической энергии диска, т.е.

,

где – момент инерции диска.

Приравнивая полученные выражения для работы, после преобразования найдем

.

Основные положения

 

1. Момент силы относительно неподвижной точки – вектор, равный векторному произведению радиус-вектора, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу

.

Момент силы относительно неподвижной оси– скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы:

.

Значение не зависит от выбора точки О на оси Z.

2. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О – векторная величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки, проведенной из точки О, на импульс этой материальной точки

.

Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности

.

3. Момент инерции тела относительно неподвижной оси– сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до оси:

, .



infopedia.su

Кинетическая энергия вращающегося шара. Вращательное движение

1.Частота вращения шкива диаметром d=0,3м меняется согласно графику. Определить полное число оборотов за время движения. Определить ускорения точек в моменты времени t 1 =2с и t 2 =7с.

5.Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить момент сил торможения М и момент инерции J вентилятора.

6.Платформа в виде диска радиусом вращается по инерции с частотой. На краю платформы стоит человек, масса которого. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

7.Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени; 2) тангенциальное уравнение в тот же момент времени; 3) угол поворота, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол.

8.Диск радиуса R=4 см вращается по закону Фи=5t+t^2+4t^3. Для момента времени t=4с вычислить: 1) угловую скорость; 2) угловое ускорение, 3) угол, на который повернулась материальная точка, 4) количество полных оборотов, сделанных материальной точкой; 5) нормальное ускорение точки, 6) тангенциальное ускорение точки, 7) полное ускорение точки.

11.Платформа в виде сплошного диска радиусом и массой M = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10*мин-1. В центре платформы стоит человек массой m = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

12.Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

13.Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения электродвигателя, вращаясь равно замедленно, он сделал до остановки N = 75 оборотов. Через какое время после выключения из сети вентилятор остановится? Какую скорость он имел в середине этого временного промежутка?

14.

17.Стержень массой m=6 кг и длиной l=40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину, перпендикулярно длине стержня. Угол поворота стержня изменяется во времени по закону j = 3t 3 – t 2 + 4t + 6. Определить вращающий момент, действующий на стержень через t=2 с после начала вращения.

18.. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гантели массой m=6 кг каждая. Длина руки человека l=60 см. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью w 1 =4 рад/c. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки с гантелями вниз вдоль оси вращения? Суммарный момент инерции человека и скамьи J=5 кг.м2 . Гантели считать материальными точками.

19.По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v  = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S= 18 м.

20.Диск массой 500 г и радиусом 40 см вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости диска на расстоянии, равном радиусу диска. Найти момент инерции диска относительно указанной оси.

.

22.

23.К ободу однородного диска радиусом R= 0,2 м приложена касательная сила F=98,1 H. При вращении на диск действует момент сил трения M=4,9 Нм. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением ε=100 рад/с 2 .

24.На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой могут свободно перемещаться два груза с массами m 1 и m 2 , связанные нитью длины l . Система вращается с угловой скоростью w. На каких расстояниях от оси будут находиться грузы в равновесии? Чему равны при этом сила натяжения нити и кинетическая энергия грузов? Вернутся ли грузы в положение равновесия, если их сместить из этого положения на малое расстояние?

25.Найти линейные скорости движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h=0,5 м, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

26.Во сколько раз нормальное ускорение a н точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше её тангенциального ускорения a т в тот момент времени, когда вектор полного ускорения точки составляет угол в 30 o с вектором её линейной скорости?

27.Точка движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала равна v=79,2 см/с.

.

32.

33.Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой h=15 см. Какую скорость поступательного движения будет иметь цилиндр в конце наклонной плоскости?

34.Платформа в виде диска радиуса R=1 м вращается по инерции, делая n 1 =6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого m 1 =80 кг. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет в её центр? (Момент инерции платформы J 2 =120 кг*м 2 . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.)

35.Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость спутника и радиус его орбиты.

36.Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловойскорости от времени задается уравнением ω = 2At + 5Bt4 (A = 2 рад/с2 и B =1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.

37.. Вал массой m = 50 кг и радиусом R = 5,0 см вращался с частотой n = 10 об/с. К его цилиндрической поверхности прижали тормозную колодку с силой F = 30 Н, и через t=8,0 с после начала торможения вал остановился. Определить коэффициент трения, считая его постоянным. Построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения вала как функцию времени на интервале торможения.

39.В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках вертикально тонкий однородный стержень массой и длиной так, что центр масс человека со стержнем находится на оси вращения скамьи. Платформа (скамья) массой m 1 , представляющая собой сплошной диск радиуса, вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Определить: во сколько раз изменится частота вращения платф

advsk.ru

Раздел 1.6 Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия вращательного движения

№1.6.1 Тонкий стержень длиной ℓ = 1 м и массой М = 0,9 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В нижний конец стержня попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 12 м/с, и застревает в нем. Определить угловую скорость  стержня сразу после попадания пули. ( = 0,39 рад/с)

№1.6.2 На краю горизонтальной платформы, вращающейся с угловой скоростью ₁ = 1 рад/с, стоит человек. С какой угловой скоростью ₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Масса платформы М = 120 кг, масса человека m = 60 кг. Платформу считать однородным диском, человека – материальной точкой. (₂ = 2 рад/с)

№1.6.3 На краю платформы в виде однородного сплошного диска массой М = 0,2 кг и радиусом R = 0,5 м, укреплена мишень, в которую попадает пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально со скоростью v = 10 м/с, и застревает в ней. Линия движения пули проходит на расстоянии R от оси вращения и перендикулярна радиусу платформы. Определить угловую скорость  платформы после попадания пули. Массой мишени пренебречь. ( = 2,6 рад/с)

№1.6.4 Человек, стоящий на краю покоящейся скамьи Жуковского, ловит мяч с массой m = 0,5 кг, летящий в горизонтальном направлении на расстоянии R = 1 м от оси вращения скамьи со скоростью v = 20 м/с. Суммарный момент инерции скамьи и человека J_z = 10 кг·м². С какой угловой скоростью  начнёт вращаться человек со скамьей? ( = 0,95 рад/с)

№1.6.5 Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой п₁ = 30 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в разведенных в стороны руках гантели. С какой частотой п₂ будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J_z1 = 3 кг·м² до J_z2 = 1 кг·м²? Платформу считать круглым однородным диском. (п₂ ≈ 31 об/мин)

№1.6.6 Горизонтальная платформа массой m = 100 кг и радиусом R = 80 см вращается с частотой п₁ = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в опущенных руках гантели. С какой частотой п₂ будет вращаться платформа, если человек, разведя руки горизонтально, увеличит свой момент инерции от J_z1 = 1 кг·м² до J_z2 = 2 кг·м²? Платформу считать круглым однородным диском. (п₂ ≈ 19 об/мин)

№1.6.7 Сплошной шар катится по горизонтальной плоскости со скоростью v = 5 м/с. Определить кинетическую энергию Е_к шара, если его масса m = 2 кг. (Е_к = 35 Дж)

№1.6.8 Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью поступательного движения. Найти отношение их кинетических энергий.(Е_к1/Е_к2 = 1,33)

№1.6.9 Сплошной цилиндр массой m = 10 кг катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью v = 10 м/с. Определить кинетическую энергию E_K цилиндра и тормозной путь S, который он пройдет до полной остановки, если на него начнет действовать постоянная сила сопротивления F = 50 Н. (E_K = 750 Дж, S = 15 м)

№1.6.10 Какую работу надо совершить, чтобы маховику в виде диска массой m = 100 кг и радиусом R = 0,4 м сообщить частоту вращения п = 10 об/c, если в начальный момент он находился в состоянии покоя? (А ≈ 16 кДж)

№1.6.11 Диск массой m = 5 кг вращается с частотой f₁ = 5 с^-1. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы частота вращения диска увеличилась до f₂ = 10 с^-1. Радиус диска равен R = 20 см. (А = 148 Дж)

№1.6.12 Сплошной цилиндр массой m = 2 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью v = 20 м/c. Какую работу A нужно совершить, чтобы остановить цилиндр? (А = 600 Дж)

№1.6.13 Два цилиндра (сплошной и полый) одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью поступательного движения. Найти отношение их кинетических энергий. (Е_к2/Е_к1 = 1,33)

№1.6.14 Стержень массой M = 2 кг и длиной ℓ = 1 м может вращаться вокруг оси, расположенной перпендикулярно и проходящей через его конец. В другой конец стержня попадает пуля массой m = 10 г, летящая перпендикулярно стержню со скоростью v = 500 м/с. Определить угловую скорость , с которой начнет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем. ( = 7,39 рад/с)

№1.6.15 В центре горизонтальной платформы, вращающейся с угловой скоростью ₁ = 1 рад/c, стоит человек. С какой угловой скоростью ₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет на ее край? Масса платформы M = 120 кг, масса человека m = 80 кг. Платформу считать однородным диском. (₂ = 0,43 рад/с)

№1.6.16 На краю платформы в виде однородного сплошного диска массой М = 2 кг и радиусом R = 1 м, укреплена мишень, в которую попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 200 м/с, и застревает в ней. Линия движения пули проходит на расстоянии R от оси вращения и перпендикулярна радиусу платформы. Определить частоту вращения п платформы после попадания пули. Массой мишени пренебречь. (п = 0,3 об/с)

№1.6.17 Человек, стоящий на расстоянии r = 2 м от оси покоящейся горизонтальной круглой платформы, ловит мяч, летящий на него со скоростью v = 10 м/с. Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r от оси платформы. Масса мяча m = 0,55 кг. Момент инерции платформы с человеком J_z = 100 кг·м². Определить, с какой угловой скоростью  начнет вращаться платформа. ( = 0,83 рад/с)

№1.6.18 На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный вертикально по оси вращения. Скамья с человеком вращается с частотой п₁ = 9 об/мин. С какой частотой п₂ будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J_z = 5 кг·м², длина стержня ℓ = 2 м, масса m = 3 кг. Центр масс стержня постоянно находится на оси вращения. (п₂ = 7,4 об/с)

№1.6.19 На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный горизонтально перпендикулярно оси вращения. Скамья с человеком вращается с частотой п₁ = 9 об/мин. С какой частотой п₂ будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он принял вертикальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J_z = 3 кг·м², длина стержня ℓ = 1 м, масса m = 2 кг. Центр масс стержня постоянно находится на оси вращения. (п₂ = 0,16 об/с)

№1.6.20 Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью v = 6 м/с. Найти кинетическую энергию диска. (Е_к = 54 Дж)

№1.6.21 Два цилиндра одинаковой массы и одинакового радиуса (сплошной и полый) скатываются с вершины наклонной плоскости без проскальзывания. Во сколько раз скорость одного из цилиндров у подножия наклонной плоскости больше скорости другого?(v_n/v_c = 1,15)

№1.6.22 Какой путь S до остановки пройдет катящийся без скольжения однородный диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона α = 30˚, если ему сообщена начальная скорость v = 7 м/с, параллельная наклонной плоскости? (S = 8,3 м)

№1.6.23 Полый цилиндр массой m = 2 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью v = 20 м/c. Какую работу А нужно совершить, чтобы остановить цилиндр?(А = 800 Дж)

№1.6.24 Стержень массой m = 2 кг и длиной ℓ = 1 м вращается с частотой f₁ = 20 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. Определить работу А, которую надо совершить, чтобы частота вращения стержня уменьшилась до f₂ = 10 с^-1. (А = 1 кДж)

№1.6.25 Шар массой m = 2 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью v = 20 м/c. Какую работу А нужно совершить, чтобы остановить шар? (А = 560 Дж)

studfiles.net