Кинетическая энергия диска: Найти кинетическую энергию диска

6 Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса, отстоящая от оси вращения на расстояние, обладает скоростью. Следовательно, ее кинетическая энергия равна

.

Сумма энергий даст кинетическую энергию всего тела:

,

или

(4.29)

Найдем работу, совершаемую внешними силами при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением (3.25) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению кинетической энергии тела. Таким образом,или, согласно (4.29),. Так как осьсовпадает с осью вращения, тои.

Но согласно (4.21), .

Учитывая, что , получаем

(4.30)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол равна

(4.

31)

В случае если , то.

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью некоторой точкии вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью. В этом случае скорость-той элементарной массы тела определяется формулой

, (4.32)

где – радиус-вектор- той массы, проведенный из точки(см. формулу (1.25))

и рис. 11.

Рис. 11

Кинетическая энергия -той элементарной массы равна

.

Далее

.

Кинетическая энергия равна

.

Разобьем полученное выражение на три слагаемых:

Как следует из рис. 9, , где- расстояние-той массы от оси вращения.

Соответственно третье слагаемое равно

, где-момент инерции тела относительно оси вращения.

Преобразуем второе слагаемое следующим образом:

,

– радиус-вектор центра масс, проведенный из точки.

Можно записать, что

. (4.33)

Если в качестве точки взять центр масс тела, тои формула (4.33) упростится следующим образом:

, (4.34)

где – скорость центр масс,- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, полная кинетическая твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии его вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

Задачи

Задача 1Однородный цилиндр массыи радиусаскатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом (рис.). Найдем уравнения движения цилиндра.

Решение

На рис. изображены силы, действующие на тело, и точки их приложения:

– сила тяжести,- сила реакции опоры,- сила трения покоя.

В проекциях на положительные направления изапишем уравнения движения:

, (1)

, (2)

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет связь между ускорениями:

(3)

Решение трех уравнений дает возможность найти ускорения и, а также силу.

Задача 2 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу = 80 г (рис.), перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами= 100 г и= 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Решение

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

:(1)

:(2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (3)

где – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения, угловое ускорение. Согласно третьему закону Ньютона,. Решая систему трех уравнений, получим

.

Отсюда ускорение равно:

. (4)

После подстановки числовых значений, получим

(м/с2)

Задача 3Маховик в виде сплошного диска радиусом= 0,2 м и массой= 50 кг раскручен до частоты вращения= 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через= 50 с. Найти моментсил трения.

Решение

Работа сил трения равна изменению кинетической энергии диска

,

где – начальная угловая скорость диска,- момент инерции диска,- угол, на который повернется диск до остановки при равнозамедленном движении.

Отсюда .

Произведем вычисления

(Н·м)

Задача 4 Платформа в виде сплошного диска радиусом = 1,5 м и массой= 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой=10 об/мин.

В центре платформы стоит человек массой= 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения , совпадающей с геометрической осью платформы равен нулю. При этом момент импульсасистемы платформа – человек остается постоянным.

, (1)

где ,- момент инерции платформы,- момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

,

или

, (2)

где штрихованные величины относятся к конечному состоянию.

Учитывая, что ,,,,,

получим

.

Отсюда

.

Произведем вычисления

=1 (м/с).

Задача 5С наклонной плоскости высотойскатываются 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

Решение

Полная кинетическая энергия скатывающегося тела:

.

Так как по закону сохранения механической энергии или, то

,

откуда

Скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой , равна

1) Для обруча , имеем.

,.

2) Для сплошного цилиндра , откуда.

,.

3) Для шара , откуда.

,.

Тесты

1. Единицей измерения модуля момента импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

2. Модуль момента силы в системе СИ измеряют в…

1) …в ньютонах на метр [Н∙м]; 2) …в ньютонах, деленных на метр [Н/м]; 3) …в ньютонах на метр квадратный [H/m2]; 4) …в метрах квадратных [м]; 5) …в ньютонах [Н].

3. Единицей измерения момента инерции тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

4. Дано выражение: , где- вектор силы,- радиус-вектор точки приложения силы. Это выражение определяет…

1) …работу силы; 2) …момент силы; 3) …импульс момента силы; 4) …кинетическую энергию точки; 5) …изменение импульса точки

.

5. Моментом импульса называется…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

6. В основном законе вращения тела вокруг неподвижной оси ; где– вектор момента силы,- вектор момента импульса,- время. Как направлены вектораи?

1) …оба перпендикулярно оси вращения и не параллельны друг другу; 2) …взаимно перпендикулярны и каждый перпендикулярен вектору угловой скорости; 3) …вдоль оси вращения в одну сторону; 4) …вдоль оси вращения в противоположные стороны; 5) …оба по касательной к траектории вращающейся точки.

7. Укажите в ответе номер правильного выражения для закона сохранения момента импульса при вращении точки вокруг неподвижной оси…

1) …,- импульс тела; 2) …,-момент силы; 3) …,- момент инерции материальной точки,- угловая скорость вращения точки; 4), – угловое ускорение; 5) ….

8. При каком виде равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией?

1) …безразличном; 2) …неустойчивом; 3) …безразличном и неустойчивом; 4) устойчивом; 5) …при любом виде равновесия.

9. Общее условие равновесия тел можно записать в виде следующих уравнений…

1) …; 2) …; 3) …и; 4) …; 5)и.

10. Условие равновесия рычага имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) ….

11. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

12. При равномерном вращении тела сохраняется вектор…

1) …скорости ; 2) …нормального ускорения; 3) …тангенциального ускорения; 4) …импульса; 5) …момента импульса.

13. Момент инерции тела Iотносительно оси, состоящего из частиц массой, равен…

1) …,- модуль угловой скорости; 2) …,L– момент импульса; 3) …; 4) …; 5) ….

14. Главный момент внешних сил связан с угловой скоростью основным законом динамики для вращательного движения. Укажите номер выражения для момента сил…

1) …,r – радиус, m – масса; 2) …; 3) …; 4); 5) ….

15. Единицей измерения модуля импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

16. Закон сохранения момента импульса Lможно записать выражением…

1) …,M –момент внешних сил; 2) …,m – масса, v – модуль скорости, h– высота тела; 3) …, гдеI – момент инерции; – модуль угловой скорости; 4) …; 5) ….

17. Какое из приведенных выражений позволяет записать момент импульса твердого тела?

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

18. Модуль момента силы можно вычислить по формуле…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

19. Дано выражение: , где- момент импульса материальной точки,- время. Это выражение определяет…

1) …ускорение точки; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …вектор результирующей сил, действующих на точку; 4) …вектор силы в данной точке; 5) …вектор результирующего момента сил, действующих на точку.

20. Невесомая доска покоится на двух опорах (рис. 6). Правая опора делит длину доски в отношении 1:3. На ее правый конец падает тело массой m2= 1 кг, скорость которого в момент удараv2. Если после удара это тело полностью теряет свою скорость, то тело массойm1= 1 кг начнет двигаться со скоростью…

Рис. 6

1) …v1 = v2; 2) …v1 = v2; 3) …v1 = v2; 4) …v1 = 6 v2; 5) …v1 = 3 v2.

17

Соотношение вращательной и поступательной кинетической энергии сферы: подробные пояснения –

В этой статье обсуждается соотношение вращательной и поступательной кинетической энергии сферы. Соотношение представляет ситуацию, когда сфера катится без скольжения по горизонтальной плоскости.

Когда сфера катится по плоскости, возможны две вещи. Они бывают катящимися с проскальзыванием и катящимися без проскальзывания. Когда сфера катится, но скользит целиком, не имея поступательной кинетической энергии, тогда сфера не движется вперед. Мы узнаем больше об этом в последующих разделах этой статьи.

Каково соотношение вращательной и поступательной кинетической энергии?

Наблюдения и советы этой статьи мы подготовили на основании опыта команды вращающийся кинетическая энергия представляет собой кинетическую энергию, с которой вращается сфера. Поступательная кинетическая энергия представляет собой кинетическую энергию, с которой сфера движется вперед.

Когда мы делим вращательную и поступательную кинетическую энергию, полученное соотношение дает нам представление об особом состоянии, называемом качением без проскальзывания. 2.

Чтобы найти кинетическую энергию вращения из поступательной кинетической энергии, мы следуем шагам, указанным ниже:

  • Сначала мы преобразуем линейный скорость к угловой скорость по формуле- V = Wr
  • Затем мы переводим массу в момент инерции, умножая квадрат радиуса вращения на массу.
  • Таким образом, у нас есть момент инерции I и угловая скорость W, поэтому теперь мы можем найти кинетическую энергию вращения.

Опишите взаимосвязь между кинетической энергией вращения и кинетической энергией поступательного движения.

В этом разделе мы обсудим, как обе эти кинетические энергии связаны друг с другом. Единственная разница между ними заключается в типе движения, за которым следует объект. Итак, давайте посмотрим на отношения между ними в разделе ниже.

Кинетическая энергия вращения пропорциональна моменту инерции, который вращательно аналогичен массе. Точно так же поступательная кинетическая энергия также пропорциональна массе. Кроме того, они оба пропорциональны квадрату скорости и угловой скорости соответственно.

Изображение: Кинетическая энергия максимальна, когда американские горки достигают самой нижней точки.

Кредиты изображений: анонимно, Деревянные американские горки txgi, CC BY-SA 3.0

Равны ли кинетическая энергия вращения и поступательного движения?

Вращательная кинетическая энергия в большинстве случаев имеет другую величину, чем поступательная кинетическая энергия. Хотя в некоторых случаях они могут быть одинаковыми.

Когда радиус вращения равен радиусу вращающегося объекта (предпочтительно кольца), то можно сказать, что вращательная кинетическая энергия и поступательная кинетическая энергия равны. Практическими примерами этого являются колеса велосипеда и велосипед при спуске со склона.

Кинетическая энергия вращения меньше энергии поступательного движения?

Да, кинетическая энергия вращения всегда меньше или равна кинетической энергии поступательного движения. Это связано с тем, что отношение радиуса вращения к радиусу тела качения максимально равно 1, что соответствует кольцу или кольцу.

Мы обсуждали формулы кинетической энергии вращения и кинетической энергии поступательного движения в предыдущих разделах этой статьи. Мы можем найти их соотношение, разделив обе формулы друг на друга. Давайте обсудим больше о соотношении в следующих разделах этой статьи.

Каково отношение кинетической энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения, когда оно достигает дна рампы?

Когда объект достигает нижней части пандуса, поверхность начинает становиться горизонтальной. В этом положении значение отношения вращательной кинетической энергии и поступательной или линейной кинетической энергии будет соответствовать информации, приведенной в разделе ниже.

После разделения формул поступательная кинетическая энергия и вращательная кинетической энергии, получаем следующее соотношение- 2/5. 2. После нахождения соответствующих значений поступательной кинетической энергии и вращательной энергии мы их складываем.

Чтобы найти значение полной кинетической энергии, мы можем просто сложить значения обеих кинетических энергий. Когда мы разделим значения полной кинетической энергии этой катящейся сферы и ее поступательной кинетической энергии, мы получим отношение как – 5/7.

Может ли объект иметь вращательную и поступательную кинетическую энергию

да. Мы можем видеть множество примеров того же в нашей повседневной жизни. Движущийся объект может иметь оба типа кинетической энергии: вращательную и кинетическую. 

Наиболее распространенным примером описанного выше случая является катящееся колесо или сфера. Когда объект следует качению без проскальзывания, он может иметь оба типа движения: вращательное и поступательное. Наиболее распространенным примером в этом отношении является колесо. Колесо вращается, а также движется прямолинейно. 2. Задав значение момента инерции, мы легко можем узнать значение кинетической энергии вращения. 

Разделив значения вращательной кинетической энергии и поступательной кинетической энергии, получим требуемый ответ. Получаем ответ 1:2. Это означает, что кинетическая энергия поступательного движения в два раза превышает значение кинетической энергии вращения твердого цилиндра.

Энергия и угловой момент

Энергия и угловой момент

Если мы нажмем на объект в прямом направлении, пока объект продвигаясь вперед, мы совершаем положительную работу над объектом. Объект ускоряется, потому что мы на это напираем. F = m a . Объект приобретает кинетическую энергию. поступательная кинетическая энергия объект массой m, центр масс которого движется со скоростью v, равен K = ½mv 2 .

Поступательная кинетическая энергия = ½ массы * скорость 2

Кинетическая энергия увеличивается квадратично со скоростью. Когда скорость автомобиля удваивается, его энергия увеличивается в четыре раза.
Вращающийся объект также обладает кинетической энергией. Когда объект вращается вокруг его центра масс, его вращательных кинетических энергия равна K = ½Iω 2 .

Кинетическая энергия вращения = ½ момента инерции * (угловая скорость) 2 .

Когда угловая скорость вращающегося колеса удваивается, его кинетическая энергия увеличивается в четыре раза.
Когда объект имеет поступательное, а также вращательное движение, мы можем посмотреть на движение центра масс и движение вокруг центра масс в отдельности. Полная кинетическая энергия представляет собой сумму поступательной кинетической энергии центра массы (см) и кинетической энергии вращения около см.


Прокатка

Рассмотрим колесо радиуса r и массы m, катящееся по плоской поверхности в x-направление.
Смещение Δx и угловое смещение Δθ связаны соотношением Δx = rΔθ.
Величины линейной скорости и угловой скорости связаны соотношением v CM = rω.
Кинетическая энергия диска равна сумме кинетической энергии движения диска центр масс ½mv CM 2 = ½ мр 2 ω 2 , кинетическая энергия движения вокруг центра масс ½Iω 2 .
Общая кинетическая энергия

KE tot = ½mr 2 ω 2 + ½Iω 2 = ½[mr 2 + I]ω 2 = ½[m + I/r 2 ]v 2 .

Пример:

Предположим, что колесо представляет собой однородный диск. Момент инерции I однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска. диск через свой CM равен ½mr 2 .
Следовательно, кинетическая энергия диска равна KE tot = (3/4)mr 2 ω 2 .

Отношение поступательной кинетической энергии вращения равно E trans /E rot = г-н 2 /I.
Если два катящихся тела имеют одинаковую кинетическую энергию, то объект с меньшим моментом инерции имеет больший поступательная кинетическая энергия и большая скорость.

Проблема:

Предположим, что диск и кольцо с одинаковым радиусом катятся по наклонной плоскости. h и угол тета. Если они оба стартуют из состояния покоя в t = 0, какой из них достигнет снизу сначала?

Решение:

  • Подумай сам, а потом посмотри это видеоклип . Был ли ваш ответ правильным?

Встроенный вопрос 2

Предположим, вы разрабатываете гоночный велосипед, и пришло время поработать над колесами. Вам говорят, что колеса должны иметь определенную массу, но вы можете спроектировать их как колеса со спицами (как традиционные велосипедные колеса) или вы можете сделать их как имеющие твердые диски на всем протяжении. Какой дизайн вы бы выбрали, учитывая, что гоночный аспект машины является самым важным? Пожалуйста, объясни!

Обсудите это со своими однокурсниками на форуме!


Пример:

Нажав кнопку ниже, вы может воспроизводить или пошагово просматривать видеоклип кадр за кадром. Каждый шаг соответствует интервалу времени (1/30) с. В обойме такой же крутящий момент действует на объекты с различные моменты инерции. Крутящий момент есть произведение веса и маленькое плечо рычага. Момент инерции линейкообразного объекта изменяется потому что массы добавляются на больших расстояниях от центра. Когда груз пролетит то же самое расстояние Δy, была совершена одна и та же работа, и система имеет одинаковую кинетическую энергию, так как она начинается с отдыха. Пренебрегая трением W = τΔθ = mgΔy = ½Iω 2 . Однако система с большим моментом инерции I имеет меньший угловой скорость ω. (Сравните углы, на которые поворачивается линейка за шаг без с прикрепленными массами и с массами, прикрепленными в разных местах.)


Проблема:

Три частицы соединены жесткими стержнями ничтожной массы, лежащими вдоль оси Y, как показано.
Если система вращается вокруг оси x с угловой скоростью 2 рад/с, найти
(a) момент инерции относительно оси x и полное вращательное кинетическая энергия оценивается по ½Iω 2 , и
(b)  линейная скорость каждой частицы и общая кинетическая энергия, оцененная от Σ½м i v i 2 .

Решение:

  • Рассуждение:
    Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось х.
    Линейная скорость частицы i равна v i = ωr i .
  • Детали расчета:
    (a) I = (4 кг)(9 м 2 ) + (2 кг)(4 м 2 ) + (3 кг)(16 м 2 ) = 92 кгм 2 .
    Кинетическая энергия вращения K = ½Iω 2 = 46*4/с 2 = 184 Дж.
    (б) Линейная скорость груза массой 4 кг v = 6 м/с, а его кинетическая энергия равна ½mv 2 = 72 Дж.
    Линейная скорость груза массой 2 кг равна v = 4 м/с, а его кинетическая энергия равна ½mv 2 = 16 Дж.
    Линейная скорость груза массой 3 кг v = 8 м/с, а его кинетическая энергия ½mv 2 = 96 Дж.
    Сумма кинетических энергий трех частиц равна 184 Дж.

Угловой момент вокруг оси является мерой вращательного движения объекта относительно этой оси. При вращении вокруг оси симметрии объекта угловой момент L определяется как продукт момент инерции объекта, умноженный на его угловую скорость ω относительно выбранной оси.

L = I ω .

Проблема:

Легкий стержень длиной 1 м вращается в плоскости xy вокруг оси, проходящей через центр стержня. Две частицы массами 4 кг и 3 кг связаны с его заканчивается. Определить момент импульса системы в момент скорость каждой частицы 5 м/с.

Решение:

  • Рассуждение:
    Мы предполагаем, что массой и моментом инерции стержня можно пренебречь.
    Пусть ось Z проходит через центр стержня и направлена ​​за пределы страницы.
    Момент инерции системы относительно оси z равен I = ∑m i r i 2 , где r i — расстояние i-й частицы от центра стержень.
  • Детали расчета:
    Момент инерции системы относительно оси z равен
    3 кг*(0,5 м) 2 + 4 кг*(0,5 м) 2 = 1,75 кгм 2 .
    Угловая скорость системы ω = (v/r) k = ((5 м/с)/(0,5 м)) k = (10/с) k .
    Здесь k — единичный вектор или указатель направления, указывающий в z-направление (вне страницы).
    Угловой момент системы равен л = I ω = (17,5 кгм 2 /с) к .

Угловой момент — это вектор. Для одиночной частицы ее направлением является направление углового скорость (определяется правилом правой руки). Угловой момент объекта равен изменился, придав ему угловой импульс . Ан угловой импульс Δ L – изменение углового импульс. Вы придаете объекту угловой импульс, позволяя крутящему моменту воздействовать на него. за промежуток времени Δt.

Δ L = τ Δt
угловой импульс = крутящий момент * время

Если объект имеет много независимо вращающихся частей, полный угловой момент объекта равен сумме угловых импульсы всех его частей.

Проблема:

Обычно вы слегка толкаете дверь шкафа, и она мягко закрывается. за 5 секунд. Но сегодня ты торопишься и напрягаешься в 3 раза больше обычного крутящий момент на нем.
(а) Если вы нажмете на него в течение обычного времени с таким повышенным крутящим моментом, как его угловой момент отличается от обычного значения?
(b)  Через какое время дверь шкафа захлопнется после того, как вы поспешите толкать?

Решение:


Сохранение углового момента

Суммарный угловой момент отдельного объекта равен постоянным, если на него не действует внешний вращающий момент. объект. Объект не может оказывать крутящий момент на себя. Суммарный угловой момент двух взаимодействующих объектов также постоянна, если на объекты не действует внешний вращающий момент. Третий закон Ньютона говорит нам, что силы, действующие на объекты друг на друга, равны. по величине и противоположно по направлению. силы взаимодействия создают моменты, равные по величине и противоположные по направление. Эти крутящие моменты изменяют угловой момент каждого объекта на одинаковую величину. сумма, но изменения будут иметь противоположные направления. Когда мы суммируем их находим изменение полного углового момента, получаем ноль.

Если на систему взаимодействующих тел не действует внешний вращающий момент, то их суммарный угловой момент постоянен.

В показанном ниже ролике суммарный момент импульса системы точек вверх. Человек останавливает прялку, и табуретка начинает вращаться.

Ваш браузер не поддерживает видео HTML5.


Несколько первых кадров

Когда человек прикладывает крутящий момент к колесу, колесо прикладывает крутящий момент к персона. Величины угловых моментов колеса и человека изменяются с той же скоростью, но их сумма остается постоянной.

Если у объекта нет ничего внешнего для взаимодействия, он не может изменить свое угловой момент. Однако гибкий объект может менять свое угловое положение.

Пример:
  • Падающий кот – Вращение с нулевым чистым угловым моментом – YouTube,

или

  • Замедленная съемка Переворачивание кота с физикой | Умнее с каждым днем ​​58 — YouTube.

Пожалуйста, смотрите.

Проблема:

Женщина весом 60 кг стоит на краю горизонтального поворотного стола и испытывает момент инерции 500 кг м 2 и радиусом 2 м. Поворотный стол первоначально находится в состоянии покоя и может свободно вращаться вокруг вертикальной оси без трения через его центр. Затем женщина начинает ходить по краю по часовой стрелке (если смотреть на систему сверху) с постоянной скоростью 1,5 м/с относительно Земли.
(а)  В каком направлении и с какой угловой скоростью вращается поворотный стол?
(б) Сколько работы делают женщины, чтобы привести в движение себя и вращающийся стол?

Решение:


Полный угловой момент относительно любой оси во Вселенной сохраняется. Однако угловой момент отдельного объекта изменяется, когда действует чистый крутящий момент. на объекте за конечный интервал времени. И наоборот, если нет чистого крутящего момента действует на тело, то его момент импульса постоянен.

Вращательная энергия

Энергия вращения

Если мы нажмем на объект в прямом направлении, пока объект движется вперед, совершаем положительную работу над объектом. Объект ускоряется, потому что мы на это напираем. F = m a . Объект приобретает кинетическую энергию. поступательная кинетическая энергия объект массой m, центр масс которого движется со скоростью v, равен K = ½mv 2 .

Поступательная кинетическая энергия = ½ массы * скорость 2

Кинетическая энергия увеличивается квадратично со скоростью. Когда скорость автомобиля удваивается, его энергия увеличивается в четыре раза.

Вращающийся объект обладает кинетической энергией, даже если объект в целом не имеет поступательное движение. Если мы рассмотрим объект, состоящий из совокупности частиц, то каждая частица i имеет кинетическую энергию K i = ½m i v i 2 .
Таким образом, полная кинетическая энергия вращающегося объекта определяется как
K = ∑k I = ∑½m I V I 2 = ∑½mr I 2 ω 2 = ½ω 2 ∑ mr i 2 .
Запишем K = ½(∑mr i 2 2 = ½Iω 2 .
Величина в скобках называется моментом инерции I = ∑m i r i 2 объекта относительно оси вращения.
Момент инерции системы относительно оси вращения можно найти, умножив массу m на и каждого частицы в системе на квадрат ее перпендикулярного расстояния r i от оси вращения, и суммируя все эти произведения, I = ∑m i r i 2 .
Для системы с при непрерывном распределении массы сумма превращается в интеграл I = ∫r 2 дм.
Единицы момент инерции – это масса, умноженная на квадрат расстояния, например, кгм 2 .

Когда объект вращается вокруг ось, это кинетическая энергия вращения равна K = ½Iω 2 .

Кинетическая энергия вращения = ½ момента инерции * (угловая скорость) 2 .

Когда угловая скорость вращающегося колеса удваивается, его кинетическая энергия увеличивается на коэффициент четыре.

Когда объект имеет поступательное, а также вращательное движение, мы можем посмотреть на движение центра масс и движение вокруг центра масс в отдельности.

Полная кинетическая энергия представляет собой сумму поступательного кинетическая энергия центра массы (см) и кинетической энергии вращения относительно СМ .


Момент инерции объекта зависит от массы объекта и от того, как эта масса распределена относительно оси вращение. Момент инерции равен всегда определяется относительно оси вращения.

Чем дальше основная часть массы от оси вращения, тем больше инерция вращения (момент инерции) объекта.

Пример:

Представьте себе два колеса одинаковой массы. Одно сплошное колесо с его масса равномерно распределена по всей конструкции, а другая имеет большая часть массы сосредоточена у края.

Колесо с массой у обода имеет больший момент инерция.

Пример:

Момент инерции круглого диска, вращающегося вокруг оси через его центр перпендикулярно плоскости диска отличается от момент инерции диска, вращающегося вокруг оси через центр в плоскости диска.

Моменты инерции многих тел с симметричным распределением масс о разных осях симметрии можно посмотреть в таблицах.

Ссылка: Список моментов инерции

Проблема:

Три частицы соединены жесткими стержнями ничтожной массы, лежащими вдоль оси Y, как показано.
Если система вращается вокруг оси x с угловой скоростью 2 рад/с, найти
(а) момент инерции относительно оси x и полный вращательный кинетическая энергия оценивается по ½Iω 2 , и
(b)  линейная скорость каждой частицы и общая кинетическая энергия, оцененная от Σ½м i v i 2 .

Решение:

  • Рассуждение:
    Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось х.
    Линейная скорость частицы i равна v i = ωr и .
  • Детали расчета:
    (a) I = (4 кг)(9 м 2 ) + (2 кг)(4 м 2 ) + (3 кг)(16 м 2 ) = 92 кгм 2 .
    Кинетическая энергия вращения K = ½Iω 2 = 46*4/с 2 = 184 Дж.
    (б) Линейная скорость груза массой 4 кг v = 6 м/с, а его кинетическая энергия равна ½ МВ 2 = 72 Дж.
    Линейная скорость груза массой 2 кг v = 4 м/с, а его кинетическая энергия равна ½ мв 2 = 16 Дж.
    Линейная скорость груза массой 3 кг v = 8 м/с, а его кинетическая энергия равна ½ МВ 2 = 96 Дж.
    Сумма кинетических энергий трех частиц равна 184 Дж.
Проблема:

Четыре частицы на рисунке справа соединены жесткими стержнями. Начало находится в центре прямоугольника. Вычислите момент инерции системы относительно оси z.

Решение:

  • Рассуждение:
    Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось Z.
  • Детали расчета:
    Каждая частица – это расстояние r = (9 + 4) ½ м = (13) ½ м от ось вращения.
    I = (3 кг + 2 кг + 4 кг + 2 кг)*13 м 2 = 143 кгм 2 .

 

Проблема:

Найдите момент инерции очень тонкого обруча из массой m и радиусом r относительно оси симметрии.

Решение:

  • Рассуждение:
    Масса распределена непрерывно, поэтому ∑m –>  ∫дм. Все элементы массы dm являются перпендикуляром расстояние r от оси вращения.
    I = ∫ r 2 dm = r 2 ∫dm = mr 2 .

Теорема о параллельных осях

Рассмотрим составной объект, например два соединенных диски на рисунке справа.
Центр масс этого объекта находится в начале координат. Чтобы найти момент инерции объект о CM мы можем использовать теорему параллельных осей. Эта теорема утверждает, что момент инерции тела относительно любой оси равен сумма двух слагаемых. Первый член — это момент инерции тела относительно параллельные оси, проходящие через его центр масс. Второй член есть произведение массы объект M, умноженный на квадрат расстояния R его центра масс от оси в вопрос.

I = I CM + MR 2 .

Мы можем рассматривать составной объект как сумму его частей и вычислять для каждой части момент инерции относительно оси Z.
Для диска 1 имеем I 1 = I CM1 + M 1 R 1 2 , а для диска 2 имеем I 2 = I CM2 2 + M 2 R 2 2 .
Тогда момент инерции составного объекта относительно оси z равен I = I 1 + Я 2 .
Для однородного диска массы М момент инерции относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равен ½MR 2 . Таким образом, для объекта на рисунке мы имеем для момента инерции относительно ось z

I = (3/2)MR 2 + (3/2)MR 2 = 3MR 2 .


Прокат

Кинетическая энергия тела при поступательном и вращательном движении равна сумма его поступательной и вращательной кинетической энергии.
Поступательная кинетическая энергия = ½ мВ CM 2 .
Кинетическая энергия вращения = ½Iω 2 .
Полная кинетическая энергия = ½mv CM 2 + ½Iω 2 .

Рассмотрим колесо радиуса r и массы m, катящееся по плоской поверхности в x-направление.
Смещение Δx и угловое смещение Δθ связаны соотношением Δx = rΔθ.
Величины линейной скорости и угловой скорости связаны через v СМ = rω.

Кинетическая энергия колеса равна сумме кинетической энергии движения колеса. центр масс ½mv CM 2 = ½mr 2 ω 2 , кинетическая энергия движения вокруг центра масс ½Iω 2 .
Общая кинетическая энергия

KE tot = ½mr 2 ω 2 + ½Iω 2 = ½[mr 2 + I]ω 2 = ½[m + I/r 2 ]v 2 .

Пример:

Предположим, что колесо представляет собой однородный диск. Момент инерции I однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска. диск через свой CM равен ½mr 2 .
Следовательно, кинетическая энергия диска равна KE tot = (3/4)mr 2 ω 2 .

Отношение поступательной кинетической энергии вращения равно E trans /E rot = г-н 2 /I.
Если два катящихся тела имеют одинаковую кинетическую энергию, то объект с меньшим моментом инерции имеет больший поступательная кинетическая энергия и большая скорость.