Кинетическая энергия диска: Задачи по физике решаем вместе

Содержание

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.


Моё видео:



Как вы работаете?

Вам нужно написать сообщение в WhatsApp . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ?

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.


Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Whatsapp или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения.

Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.















Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности


Энергия вращающегося диска. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:

Масса какой-либо частицы, ее линейная (окружная) скорость, пропорциональная расстоянию данной частицы от оси вращения. Подставляя в это выражение и вынося за знак суммы общую для всех частиц угловую скорость о, находим:

Эту формулу для кинетической энергии вращающегося тела можно привести к виду, аналогичному выражению кинетической энергии поступательного движения, если ввести величину так называемого момента инерции тела. Моментом инерции материальной точки называют произведение массы точки на квадрат расстояния ее от оси вращения. Момент инерции тела есть сумма моментов инерции всех материальных точек тела:

Итак, кинетическая энергия вращающегося тела определяется такой формулой:

Формула (2) отличается от формулы, определяющей кинетическую энергию тела при поступательном движении, тем, что вместо массы тела здесь входит момент инерции I и вместо скорости групповая скорость

Большой кинетической энергией вращающегося маховика пользуются в технике, чтобы сохранить равномерность хода машины при внезапно меняющейся нагрузке. Вначале, чтобы привести маховик с большим моментом инерции во вращение, от машины требуется затрата значительной работы, но зато при внезапном включении большой нагрузки машина не останавливается и производит работу за счет запаса кинетической энергии маховика.

Особенно массивные маховые колеса применяют в прокатных станах, приводимых в действие электромотором. Вот описание одного из таких колес: «Колесо имеет в диаметре 3,5 м и весит При нормальной скорости 600 об/мин запас кинетической энергии колеса таков, что в момент проката колесо дает стану мощность в 20 000 л. с. Трение в подшипниках сведено до минимума сказкой под давлением, и во избежание вредного действия центробежных сил инерции колесо уравновешено так, что груз в помещенный на окружности колеса, выводит его из состояния покоя».

Приведем (без выполнения вычислений) значения моментов инерции некоторых тел (предполагается, что каждое из этих тел имеет одинаковую во всех своих участках плотность).

Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (рис. 55):

Момент инерции круглого диска (или цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (полярный момент инерции диска; рис. 56):

Момент инерции тонкого круглого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром (экваториальный момент инерции диска; рис. 57):

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:

Момент инерции тонкого сферического слоя радиуса относительно оси, проходящей через центр:

Момент инерции толстого сферического слоя (полого шара, имеющего радиус внешней поверхности и радиус полости ) относительно оси, проходящей через центр:

Вычисление моментов инерции тел производится при помощи интегрального исчисления. Чтобы дать представление о ходе подобных расчетов, найдем момент инерции стержня относительно перпендикулярной к нему оси (рис. 58). Пусть есть сечение стержня, плотность. Выделим элементарно малую часть стержня, имеющую длину и находящуюся на расстоянии х от оси вращения. Тогда ее масса Так как она находится на расстоянии х от оси вращения, то ее момент инерции Интегрируем в пределах от нуля до I:

Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии (рис. 59)

Момент инерции кольцевого тора (рис. 60)

Рассмотрим, как связана энергия вращения катящегося (без скольжения) по плоскости тела с энергией поступательного движения этого тела,

Энергия поступательного движения катящегося тела равна , где масса тела и скорость поступательного движения. Пусть означает угловую скорость вращения катящегося тела и радиус тела. Легко сообразить, что скорость поступательного движения тела, катящегося без скольжения, равна окружной скорости тела в точках соприкосновения тела с плоскостью (за время когда тело совершает один оборот, центр тяжести тела перемещается на расстояние следовательно,

Таким образом,

Энергия вращения

следовательно,

Подставляя сюда указанные выше значения моментов инерции, находим, что:

а) энергия вращательного движения катящегося обруча равна энергии его поступательного движения;

б) энергия вращения катящегося однородного диска равна половине энергии поступательного движения;

в) энергия вращения катящегося однородного шара составляет энергии поступательного движения.

Зависимость момента инерции от положения оси вращения. Пусть стержень (рис. 61) с центром тяжести в точке С вращается с угловой скоростью (о вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа. Положим, что в течение некоторого промежутка времени он переместился из положения А В в причем центр тяжести описал дугу Это перемещение стержня можно рассматривать так, как если бы стержень сначала поступательно (т. е. оставаясь себе параллельным) переместился в положение и затем повернулся вокруг С в положение Обозначим (расстояние центра тяжести от оси вращения) через а, а угол через При движении стержня из положения А В в положение перемещение каждой его частицы одинаково с перемещением центра тяжести, т. е. оно равно или Чтобы получить действительное движение стержня, мы можем предположить, что оба указанных движения совершаются одновременно. В соответствии с этим кинетическую энергию стержня, вращающегося с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через О, можно разложить на две части.

Механика.

Вопрос №1

Система отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея – Эйнштейна.

Система отсчёта – это совокупность тел по отношению к которым описывается движение данного тела и связанная с ним система координат.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) – это система, в которой свободно движущееся тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Принцип относительности Галилея – Эйнштейна – Все явления природы в любой инерциальной системе отсчёта происходят одинаково и имеют одинаковый математический вид. Другими словами все ИСО равноправны.

Вопрос №2

Уравнение движения. Виды движения твёрдого тела. Основная задача кинематики.

Уравнения движения материальной точки:

– кинематическое уравнение движения

Виды движения твёрдого тела:

1) Поступательное движение – любая прямая проведённая в теле перемещается параллельно самой себе.

2) Вращательно движение – любая точка тела движется по окружности.

φ = φ(t)

Основная задача кинематики – это получение зависимостей от времени скорости V= V(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t) материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных условий V 0 и r 0 .

Вопрос №7

И́мпульс (Количество движения ) – векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты , то в силу уравнений Лагранжа .

Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: , отсюда:

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства : для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)

Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

,

где m i – масса i -й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Вопрос №8

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инерции тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

  • m i – масса i -й точки,
  • r i – расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

  • dm = ρdV – масса малого элемента объёма тела dV ,
  • ρ – плотность,
  • r – расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Вывод формулы

dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где – полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Энергия вращательного движения

Кинетическая энергия вращательного движения – энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела – его угловая скорость (ω) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения – момент импульса относительно оси вращения z:

K z = I z ω

и кинетическая энергия

где I z – момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 – главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где I – тензор инерции.

Вопрос №9

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно – если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) – векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой непПроизводная момента импульса по времени есть момент силы:

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где – момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости – . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

Поскольку твердое тело представляет собой частный случай системы материальных точек, то кинетическая энергия тела при вращении вокруг неподвижной оси Z будет равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек, то есть

Все материальные точки твердого тела вращаются в этом случае по окружностям с радиусами и с одинаковыми угловыми скоростями . Линейная скорость каждой материальной точки твердого тела равна . Кинетическая энергия твердого тела примет вид

Сумма в правой части этого выражения в соответствии с (4.4) представляет собой момент инерции этого тела относительно данной оси вращения. Поэтому формула для расчета кинетической энергии вращающегося относительно неподвижной оси твердого тела примет окончательный вид:

. (4.21)

Здесь учтено, что

Вычисление кинетической энергии твердого тела в случае произвольного движения значительно усложняется. Рассмотрим плоское движение, когда траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях. Скорость каждой материальной точки твердого тела, согласно (1.44), представим в виде

,

где в качестве мгновенной оси вращения выберем ось, проходящую через центр инерции тела перпендикулярно плоскости траектории какой-либо точки тела. В этом случае в последнем выражении представляет собой скорость центра инерции тела, – радиусы окружностей, по которым вращаются точки тела с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр его инерции. .

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части последнего выражения отдельно. Первое слагаемое в силу очевидного равенства равно

Второе слагаемое равно нулю, так как сумма определяет радиус-вектор центра инерции (3.5), который в данном случае лежит на оси вращения. Последнее слагаемое с учетом (4.4) примет вид . Теперь, окончательно, кинетическая энергия при произвольном, но плоском движении твердого тела может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:

, (4.23)

где первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе тела и движущейся со скоростью, которую имеет центр масс тела;

второе слагаемое представляет собой кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг оси (движущейся со скоростью ), проходящей через его центр инерции.

Выводы: Итак, кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси может быть вычислена с помощью одного из соотношений (4.21), а в случае плоского движения с помощью (4. 23).

Контрольные вопросы.

4.4. В каких случаях (4.23) переходит в (4.21)?

4.5. Как будет выглядеть формула для кинетической энергии тела при его плоском движении, если мгновенная ось вращения не проходит через центр инерции? Каков при этом смысл входящих в формулу величин?

4.6. Покажите, что работа внутренних сил при вращении твердого тела равна нулю.

1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс m i . Линейная скорость элементарной массы m i – v i = w·R i , где R i – расстояние массы m i от оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия i -ой элементарной массы будет равна . Полная кинетическая энергия тела: , здесь – момент инерции тела относительно оси вращения.

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:

2. Пусть теперь тело вращается относительно некоторой оси, а сама ось перемещается поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).

Скорость i -той элементарной массы тела равна , где – скорость некоторой точки «О» тела; – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».

Кинетическая энергия элементарной массы равна:

ЗАМЕЧАНИЕ: векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный (рис.4.18).

Учтя это замечание, можно записать, что , где – расстояние массы от оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим

Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим

Сумма элементарных масс есть масса тела «m». Выражение равно произведению массы тела на радиус-вектор центра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать

.

Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-вектор будет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через – скорость центра инерции, а через – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:

(4.6)

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.

Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела.

Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.

Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (результирующая сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за время dt работу:

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:

где , – соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».

Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt :

Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению:

.

Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что , (направления оси Z и совпадают), получим

,

но w·dt =d j, т.е. угол, на который поворачивается тело за время dt . Поэтому

.

Знак работы зависит от знака M z , т.е. от знака проекции вектора на направление вектора .

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой .

Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования

.

Если проекция результирующего момента внешних сил на направление остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:

, т. е. .

Т.е. работа внешней силы при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направление и угол поворота.

С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:

;

Следовательно,

. (4.7)

Самостоятельно:

Упругие силы;

Закон Гука.

Гидродинамика

Линии и трубки тока.

Гидродинамика изучает движение жидкостей, однако ее законы примени- мы и к движению газов. При стационарном течении жидкости скорость ее частиц в каждой точке пространства есть величина, независимая от времени и являющаяся функцией координат. При стационарном течении траектории частиц жидкости образуют линию тока. Совокупность линий тока образует трубку тока (рис. 5.1). Будем считать жидкость несжимаемой, тогда объем жидкости, протекающей через сечения S 1 и S 2 , будет одинаков. За секунду через эти сечения пройдет объем жидкости, равный

, (5.1)

где и – скорости жидкости в сечениях S 1 и S 2 , а вектора и определяются как и , где и – нормали к сечениям S 1 и S 2 . Уравнение (5.1) называют уравнением неразрывности струи. Из него следует, что скорость жидкости обратно пропорциональна сечению трубки тока.

Уравнение Бернулли.

Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениями S 1 и S 2 , перпендикулярными к линиям тока. В сечении 1 за малое время t частицы сместятся на расстояние l 1 , а в сечении 2 – на расстояние l 2 . Через оба сечения за время t пройдут одинаковые малые объемы жидкости V = V 1 = V 2 и перенесут массу жидкости m=rV , где r – плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениями S 1 и S 2 , произошедшее за время t , можно заменить изменением энергии объема V , произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии

, (5.2)

где v 1 и v 2 – скорости частичек жидкости в сечениях S 1 и S 2 соответственно; g – ускорение земного притяжения; h 1 и h 2 – высоты центра сечений.

В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии DE должно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:

Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

. (5.4)

Сечения трубки S 1 и S 2 были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение

. (5.5)

Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h = const , и равенство (5.4) приобретает вид

r /2 + p 1 = r· /2 + p 2 , (5.6)

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

Силы внутреннего трения.

Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью , плавающая на ней пластина с поверхностью S (рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с силой . Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения . Ньютон показал, что сила трения

, (5.7)

где d – толщина слоя жидкости, h – коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторов F тр и v o . Если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Дифференцируя это равенство, получим dv/dz = v 0 /d . С учетом этого

формула (5.7) примет вид

F тр =h(dv/dz)S , (5.8)

где h – коэффициент динамической вязкости . Величина dv/dz называется градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z . При dv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скорости v при изменении z на единицу. Положим численно в формуле (5.8) dv/dz = -1 и S = 1, получим h = F . Отсюда следует физический смысл h : коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ называется паскаль-секундой (обозначается Па с). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Па с = 10П.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами m v т., т 3 , …, находящиеся на расстояниях R v R 0 , R 3 ,… от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей:

момент инерции твердого тела относительно данной оси 00,. Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений очевидно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.14) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать ее к виду

Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Найдем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Из формулы (4.14) очевидно, что момент инерции материальной точки равен

где т – масса точки; R – расстояние до оси вращения.

Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой – тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из- под знака суммы (4.14):

Рис. 4.5

Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой – диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.15). Заранее можно понять, что масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе к оси, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.17), но в ней появится коэффициент, меньший единицы. Найдем этот коэффициент. Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту А. Разобьем его на полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5 показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: dV = 2nrhdr, масса: dm = 2nphrdr, а момент инерции в соответствии с формулой (4.17): dj =

= r 2 dm = 2лр/?г Wr. Полный момент инерции сплошного цилиндра получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:

Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой

С учетом того что масса сплошного цилиндра связана с плотностью формулой т = nR 2 hp, имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:

Рис. 4.6

стержень в соответствии с рис. 4.6 на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm = mdl/L, а момент инерции в соответствии с формулой (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Полный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:

Взятие элементарного интеграла дает момент инерции тонкого стержня длины L и массы т

Рис. 4.7

Несколько сложней берется интеграл при поиске момента инерции однородного шара радиуса R и массы /77 относительно оси симметрии. Пусть сплошной шар имеет плотность р. Разобьем его в соответствии с рис. 4.7 на полые тонкие цилиндры толщиной dr, ось симметрии которых совпадает с осью вращения шара. Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину:

где высота цилиндра h найдена с использованием теоремы Пифагора:

Тогда несложно найти массу полого цилиндра:

а также момент инерции в соответствии с формулой (4.15):

Полный момент инерции сплошного шара получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:


С учетом того что масса сплошного шара связана с плотностью форму- 4 .

лой т = -npR A y имеем окончательно момент инерции относительно оси

симметрии однородного шара радиуса R массы т:

определить кинетическую энергию

определить кинетическую энергию


Задача 10301

Ион, попав в магнитное поле (B = 0,01 Тл), стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию Т (в эВ) иона, если магнитный момент рm эквивалентного кругового тока равен 1,6·10-14 А·м2.


Задача 10525

Атом распадается на две части массами m1 = 1,6·10–25 кг и m2 = 2,3·10–25 кг. Определить кинетические энергии Т1 и Т2 частей атома, если их общая кинетическая энергия T = 2,2·10–11 Дж, Кинетической энергией и импульсом атома до распада пренебречь.


Задача 13130

Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска.


Задача 13150

Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определите кинетическую энергию маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через t1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 50 кг·м2/с.


Задача 40003

К телу, масса которого 4 кг, приложена направленная вертикально вверх сила 46 Н. Определить кинетическую энергию тела в момент, когда она окажется на высоте 10 м над землей. В начальный момент тело покоилось на поверхности земли.


Задача 40146

Движущийся шар массой 5кг ударяется о неподвижный шар массой 0,5 кг. Кинетическая энергия обоих шаров непосредственно после удара равна 6 Дж. Определить кинетическую энергию первого шара до удара. Удар считать центральным, неупругим.


Задача 40694

Снаряд разлетается на два осколка массами 16 кг и 24 кг. Определить кинетическую энергию второго осколка, если энергия первого осколка равна 18 кДж.


Задача 50446

Определить кинетическую энергию, которая приходится на одну степень свободы молекулы азота при температуре 1000 К.


Задача 40759

Цилиндр массой 5 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 14 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра и время, через которое цилиндр остановится, если сила трения равна 50 H.


Задача 11110

При выстреле из орудия снаряд массой m1 = 10 кг получает кинетическую энергию T1 = 1,8 МДж. Определить кинетическую энергию T2 ствола орудия вследствие отдачи, если масса m2 ствола орудия равна 600 кг.


Задача 11111

Ядро атома распадается на два осколка массами m1 = 1,6·10-25 кг и m2 = 2,4·10-25 кг. Определить кинетическую энергию T2 второго осколка, если энергия T1 первого осколка равна 18 нДж.


Задача 26614

Призма 1 массой m1 = 5 кг движется по горизонтальной плоскости со скоростью v1 = 1 м/с. Масса толкателя 2 равна 1 кг. Определить кинетическую энергию механизма.


Задача 11886

Однородный диск массой т = 30 кг радиуса R = 1 м начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно с постоянным угловым ускорением ε = 2 рад/с2. Определить кинетическую энергию диска в момент времени t = 2 с после начала движения.


Задача 12064

Полый цилиндр катится без проскальзывания по горке. Зависимость его потенциальной энергии от координаты Wn(x) изображена па графике. Определить кинетическую энергию цилиндра, обусловленную движением его центра масс, в точке “С”, если в точке “А” полная кинетическая энергия цилиндра равна 30 Дж.


Задача 14189

Фотон с энергией ε = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 50°. Определить кинетическою энергию Eк электрона отдачи и угол α, между направлениями вылета электрона и падающего излучения.


Задача 19274

Частица с массой m0, которая находится в покое, распадается на две частицы с массами m1 и m2. Определить кинетические энергии Т1 и Т2 частиц в системе покоя первичной частицы.


Задача 19866

Полый цилиндр катится без проскальзывания по горке. Зависимость его потенциальной энергии от координаты Wп(x) изображена на графике. Определить кинетическую энергию цилиндра, обусловленную вращением, в точке “Е”, если в точке “А” его скорость равнялась нулю.


Задача 21768

Кванты света с энергией 4,9 эВ выбивают фотоэлектроны из металла с работой выхода 4,5 эВ. Найдите максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона. Определите кинетическую энергию и скорость вылетевших электронов.


Решение задач: силы, действующие на диск

33. Силы, действующие на диск, показаны на рис. 3.39. Работу совершает только сила тяжести диска. По теореме об изменении кинетической энергии . Кинетическая энергия диска при плоскопараллельном движении

          .

Момент инерции диска .

Так как мгновенный центр скоростей диска расположен в точке , то угловая скорость ,

.

Тогда кинетическая энергия диска .

Работа силы тяжести , поэтому из теоремы об изменении кинетической энергии следует

.                                                            (3.47)

Дифференцируя (3.47) по времени и учитывая, что , получим

.

Учитывая (3.47) найдем составляющую ускорения

.

По теореме о движении центра масс диска

.

Отсюда натяжение нити

.

Ответ: ,

.

34. Переход обруча на наклонную плоскость показан на рис. 3.40. Условия отрыва и отсутствия проскальзывания состоит в том, что нормальная реакция опоры , а составляющая силы трения . Обруч при этом переходе вращается около неподвижной точки А.

По теореме о движении центра масс в проекции на касательную и нормаль к его траектории

        (3.48)

Силы реакции опоры и трения выразим через параметры движения используя теорему об изменении кинетической энергии . При вращательном движении . Момент инерции , угловая скорость , и кинетическая энергия . Работа силы тяжести .

Тогда из теоремы об изменении кинетической энергии следует

.                                                                               (3.49)

Из второго уравнения системы (3.48) получим для нормальной реакции опоры

.

При отсутствии отрыва  при всех углах , т.е. достаточно потребовать , или .

Дифференцируя по времени (3.49) получим . Так как , то , и из первого уравнения системы (3.48) касательная составляющая силы трения . Условие  ведет к неравенству , которое должно выполняться при .

Рассматривая левую часть неравенства , найдем , т.е.  убывает, и выполнения указанного неравенства достаточно потребовать при . Отсюда  .

Ответ: , .

35. 1й способ. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве параметров, характеризующих ее положение (рис. 3.41) возьмем , .

Внешние силы, действующие на систему, вертикальны. Составляющая их главного вектора , и, следовательно, составляющая импульса  системы . Центр масс системы С расположен на одной вертикали с точкой В, и , т.е.

.                                                             (3.50)

Второе уравнение, характеризующее движение системы, найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Так как работу совершают только консервативные стационарные силы тяжести, то следствием указанной теоремы является закон сохранения полной механической энергии системы

                .

Кинетическая энергия системы

.                                          (3.51)

Координаты центров масс стержней , ; составляющие скорости , . Моменты инерции , составляющие угловых скоростей . Подстановка последних формул в (3.51) даст .

Потенциальная энергия системы . В начальный момент времени . Учитывая (3.50), закон сохранения механической энергии системы даст

                .

Поэтому в момент падения стержней при  ; .

Составляющие скорости точки В

               

В момент падения при  .

2-й способ. Так как  (см. предыдущий способ), то поступательно движущаяся вместе с точкой В вправо система координат  (рис. 3.42) будет инерциальной, и в ней также .

Кинетическая энергия стержней , потенциальная энергия

 .

Начальная угловая скорость стержней

.

Дальнейшие вычисления повторяют первый способ.

Ответ: ,

.

36. Рассмотрим движение системы до достижения осью цилиндра крайнего нижнего положения (рис. 3.43). Внешние силы вертикальны, их составляющая , и составляющая импульса системы

.    (3.52)

Изменение кинетической энергии системы равно работе силы тяжести цилиндра . Кинетическая энергия системы в показанный на рис. 3.43 момент времени . Угловая скорость цилиндра за счет разности скоростей  и  , момент инерции . Поэтому . Так как  (в начальный момент времени система  покоилась), то

.                            (3.53)

Совместным решением (3.52) и (3.53) относительно неизвестных  и  получим .

Ответ: .

37. Работу в рассматриваемой системе (рис. 3.44) совершают только силы взаимодействия между точкой и платформой. Она равна изменению кинетической энергии системы .

В начальный момент времени . Скорость точки по теореме сложения скоростей ,т.е., .

В момент попадания точки на ось

вращения

   , и

.        (3.54)

Чтобы найти угловую скорость платформы в момент попадания точки на ось вращения воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения . Главный момент внешних сил тяжести и реакции подшипников , и поэтому

.

В начальный момент времени , в момент попадания точки на ось вращения , поэтому . Подставляя последний результат в (3.54), получим .

Ответ: .

38. Рассмотрим качение обруча по горизонтальной плоскости без проскальзывания до отрыва от нее (рис. 3.45). Работу при этом совершает только сила тяжести и выполняется закон сохранения полной механической энергии

.

Кинетическая энергия материальной точки, принадлежащей катящемуся без проскальзывания обручу .

Скорость

, и

.

Потенциальная энергия , поэтому

, то есть

.                                                        (3.55)

Отрыва обруча от горизонтальной плоскости происходит в тот момент времени, когда обращается в ноль нормальная реакция плоскости . По теореме о движении центра масс в проекции на ось

                .                                                                         (3. 56)

Так как , то . Дифференцируя по времени (3.55) после некоторых преобразований получим . Далее из (3.56) найдем, что . Отрыв обруча от плоскости произойдет при значении угла : .

Заметим, что так как вся масса системы сосредоточена в точке М, то вследствие принципа Д’Аламбера равнодействующая силы трения  и нормальной реакции опоры  направлена по прямой СМ, и сила трения  обращается в ноль одновременно с . В этом также можно убедиться, вычислив силу трения. Действительно , ,  и

  .

Условие качения без проскальзывания состоит в выполнении неравенства , т.е. (см. рис. 3.45) . Этого достаточно потребовать при угле . Так как ,  , то .

Ответ: .

Определение момента инерции диска. Проверка теоремы Штейнера. | Учителю.

Определение момента инерции диска. Проверка теоремы Штейнера.

ЦЕЛЬ: определить момент инерции диска расчётным и экспериментальным методами

ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, набор гирь, штангенциркуль, секундомер

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Работа, которую совершает постоянный момент силы М при повороте тела на угол φ (в радианах),
А = Мφ (1)
Работа сил трения или сопротивления равна изменению механической энергии системы: А = Е1 – Е2 (2) Кинетическая энергия тела массой m, которое движется поступательно со скоростью υ и одновременно вращается с угловой скоростью ω относительно центра масс,

Эта энергия равна кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси (MOB):

В этих формулах Jс – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, J – момент инерции относительно MOB.
Если эти оси параллельны друг другу, то согласно теореме Штейнера

где m – масса тел, а – расстояние между осями.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось (рис. 1) и может вращаться с малым трением. На той же оси находится шкив 2 радиусом г, на который наматывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой m, под действием которого система приводится во вращение.
Путь, пройденный грузом до своего нижнего положения (когда нить полностью размотается), определяется по шкале 3, вдоль которой груз движется.
В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы 5 цилиндрической формы (радиуса R) и массы m0.
В установке предусмотрено автоматическое измерение времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое поднимается груз по инерции после прохождения нижнего положения.



ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Если намотать нить на шкив, подняв на высоту груз m, то он будет обладать потенциальной энергией При падении груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения груза и энергию вращения диска . Зная время t падения груза до нижней точки, можно определить конечную скорость движения груза и угловую скорость вращения диска , где r – радиус шкива.

При движении в подшипниках действует момент сил трения Мтр, для преодоления которого на пути совершается работа А = Мφ

Где φ0- угол поворота диска (угловое перемещение).

В соответствии с законом сохранения энергии и равенством (2)

Момент сил трения Мтр найдём из следующих соображений. После того, как груз опустится до нижней точки, маховик, продолжая вращение по инерции, поднимет груз на высоту h; там его потенциальная энергия mgh меньше, чем начальная, на величину работы, совершенной против сил трения на всём пути . Из закона сохранения энергии и формулы (2) следует

Решая совместно уравнения (7), (8), получаем расчётную формулу для момента инерции вращающегося тела:

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ

1. Чему равен момент инерции материальной точки?
2. От каких величин зависит момент инерции диска?
3. Чему равен момент инерции твёрдого тела относительно оси?
4. В каких единицах измеряют момент инерции?
5. Чему равен момент инерции системы тел относительно какой-то оси?
6. Запишите закон сохранения энергии для системы “диск—груз”.
7. На что расходуется механическая энергия в системе:
а) потенциальная энергия груза при его опускании;
б) кинетическая энергия системы при движении груза вверх?
8. Какое положение груза соответствует наибольшей кинетической энергии маховика?
9. По какой формуле определяют работу, затраченную на преодоление сил трения?
10. Чему равна работа постоянного момента силы?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем состоит метод определения момента инерции диска в данной работе? По какой формуле его рассчитывают в опытах?
2. Чем обусловлена погрешность в данной работе?
3. От каких величин зависит кинетическая энергия тела при поступательном и вращательном движениях?
4. Что характеризует момент инерции материальной точки, тела?
5. От каких величин зависит момент инерции тела?
6. Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.
7. Как рассчитывают момент инерции твёрдого тела сложной формы?
8. Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной a, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна m.
9. Две материальные точки с массами m1 и m2 соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

Кинетическая энергия вращения. Кинетическая энергия при вращательном движении

Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где – ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна

.

Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому

.

Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно

. (5.30)

Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой .

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид

.

Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела

Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение

.

В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения

С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду

где – проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, – угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.

Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело

В случае, если , то формула упрощается

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.

Гироскоп

Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С 1 С 2 , проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В 1 В 2 , перпендикулярной к С 1 С 2 . Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А 1 А 2 , перпендикулярной к осям С 1 С 2 и В 1 В 2 . Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.

Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.

1) Устойчивость.

При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.

Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.

Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал

. (5.34)

Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.

Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.

2). Гироскопический эффект.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О 1 О 1 и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О 2 О 2 . Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения

3). Прецессия гироскопа.

Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис. 5.16).

Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.

Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине

где – масса гироскопа, – расстояние от точки О до цента масс гироскопа, – угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.

Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.

Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен

где – момент импульса гироскопа, а – его приращение за время .

Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии

. (5.35)

Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .

В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.

Примеры применения законов динамики

При вращательном движении

1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис. 5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.

По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая

где – момент инерции человека и скамьи, и – момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и – угловые скорости системы.

Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна

.

Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы

2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180 0 . При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.

Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен

где – момент инерции колеса, – угловая скорость его вращения.

После поворота колеса на угол 180 0 момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим

,

где – момент инерции системы «человек-платформа», – угловая скорость вращения скамьи с человеком.

По закону сохранения момента импульса

и .

В итоге, находим скорость вращения скамьи

3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем

Здесь – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.

Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим

,

.

4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m 1 =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m 2 =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса

Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле

,

где – момент инерции стержня относительно точки подвеса, – момент инерции пули, – угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.

Решая после подстановки полученное уравнение, найдем

.

Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:

,

где – высота поднятия центра масс данной системы.

Проведя необходимые преобразования, получим

Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением

.

Проведя вычисления, получим =0,1p=18 0 .

5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I , радиус блока r . Массой нити пренебречь.

Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики

Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением

Решая эти уравнения, получим

После чего находим T 1 и T 2 .

6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M = 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h =1 м до нижнего положения. Радиус шкива r =3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m =250 г каждый на расстоянии R = 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.

Лекция 3. Динамика твердого тела

План лекции

3.1. Момент силы.

3.2. Основные уравнения вращательного движения. Момент инерции.

3.3. Кинетическая энергия вращения.

3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

3.5. Аналогия между поступательным и вращательным движением.

Момент силы

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения ОО (рис.3.1 ) и к нему приложена произвольная сила .

Рис. 3.1

Разложим силу на две составляющие силы , сила лежит в плоскости вращения, а сила – параллельна оси вращения. Затем силу разложим на две составляющие: – действующую вдоль радиус-вектора и – перпендикулярную ему.

Не любая сила, приложенная к телу, будет вращать его. Силы и создают давление на подшипники, но не вращают его.

Сила может вывести тело из равновесия, а может – нет в зависимости от того, в каком месте радиус-вектора она приложена. Поэтому вводится понятие момента силы относительно оси. Моментом силы относительно оси вращения называется векторное произведение радиуса-вектора на силу .

Вектор направлен по оси вращения и определяется правилом векторного произведения или правилом правого винта, или правилом буравчика.

Модуль момента силы

где α – угол между векторами и .

Из рис.3.1. видно, что .

r 0 – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы и называется плечом силы. Тогда момент силы можно записать

М = F r 0 . (3.3)

Из рис. 3.1.

где F – проекция вектора на направление, перпендикулярное вектору радиус-вектору . В этом случае момент силы равен

. (3.4)

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент силы равен векторной сумме моментов отдельных сил, но так как все моменты направлены вдоль оси, то их можно заменить алгебраической суммой. Момент будет считаться положительным, если он вращает тело по часовой стрелке и отрицательным, если против часовой стрелки. При равенстве нулю всех моментов сил (), тело будет находиться в равновесии.

Понятие момента силы можно продемонстрировать с помощью «капризной катушки». Катушку с нитками тянут за свободный конец нитки (рис. 3.2 ).

Рис. 3.2

В зависимости от направления силы натяжения нити катушка перекатывается в ту или иную сторону. Если тянуть под углом α , то момент силы относительно оси О (перпендикулярной к рисунку) вращает катушку против часовой стрелки и она откатывается назад. В случае натяжения под углом β вращающий момент направлен против часовой стрелки и катушка катится вперед.

Используя условие равновесия (), можно сконструировать простые механизмы, которые являются «преобразователями» силы, т.е. прикладывая меньшую силу можно поднимать и перемещать разного веса грузы. На этом принципе основаны рычаги, тачки, блоки разного рода, которые широко используются в строительстве. Для соблюдения условия равновесия в строительных подъемных кранах для компенсации момента силы, вызванного весом груза, всегда имеется система противовесов, создающая момент силы обратного знака.

3.2. Основное уравнение вращательного
движения. Момент инерции

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.3 ). Разобьём мысленно это тело на элементы массами Δm 1 , Δm 2 , …, Δm n . При вращении эти элементы опишут окружности радиусами r 1 , r 2 , …, r n . На каждый элемент действуют соответственно силы F 1 , F 2 , …, F n . Вращение тела вокруг оси ОО происходит под действием полного момента сил М .

М = М 1 + М 2 + … +М n (3.4)

где М 1 = F 1 r 1, М 2 = F 2 r 2, …, M n = F n r n

Согласно II закону Ньютона, каждая сила F , действующая на элемент массой Dm , вызывает ускорение данного элемента a , т. е.

F i = Dm i a i (3.5)

Подставив в (3.4) соответствующие значения, получим

Рис. 3.3

Зная связь между линейным угловым ускорением ε () и что угловое ускорение для всех элементов одинаково, формула (3.6) будет иметь вид

М = (3.7)

=I (3.8)

I – момент инерции тела относительно неподвижной оси.

Тогда мы получим

М = I ε (3.9)

Или в векторном виде

(3.10)

Это уравнение является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II закона Ньютона. Из (3.10) момент инерции равен

Таким образом, моментом инерции данного тела называется отношение момента силы к вызываемому им угловому ускорении. Из (3.11) видно, что момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению. Момент инерции играет ту же роль, что и масса при поступательном движении. Единица измерения в СИ [I ] = кг·м 2 . Из формулы (3.7) следует, что момент инерции характеризует распределение масс частиц тела относительно оси вращения.

Итак, момент инерции элемента массы ∆m движущегося по окружности радиусом r равен

I = r 2 Dm (3.12)

I= (3.13)

В случае непрерывного распределения масс сумму можно заменить интегралом

I= ∫ r 2 dm (3.14)

где интегрирование производится по всей массе тела.

Отсюда видно, что момент инерции тела зависит от массы и её распределения относительно оси вращения. Это можно продемонстрировать на опыте (рис.3.4 ).

Рис. 3.4

Два круглых цилиндра, один полый (например, металлический), другой сплошной (деревянный) с одинаковыми длинами, радиусами и массами начинают одновременно скатываться. Полый цилиндр, обладающий большим моментом инерции, отстанет от сплошного.

Вычислить момент инерции можно, если известна масса m и ее распределение относительно оси вращения. Наиболее простой случай – кольцо, когда все элементы массы расположены одинаково от оси вращения (рис. 3.5 ):

I = (3.15)

Рис. 3.5

Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой m .

1. Момент инерции кольца , полого тонкостенного цилиндра относительно оси вращения совпадающей с осью симметрии.

, (3.16)

r – радиус кольца или цилиндра

2. Для сплошного цилиндра и диска момент инерции относительно оси симметрии

(3.17)

3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр

(3.18)

r – радиус шара

4. Момент инерции тонкого стержня длинной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

(3.19)

l – длина стержня.

Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции тела относительно этой оси определяется теоремой Штейнера.

(3.20)

Согласно этой теореме, момент инерции относительно произвольной оси О’O’ ( ) равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела ( ) плюс произведение массы тела на квадрат расстояния а между осями (рис. 3.6 ).

Рис. 3.6

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси ОО с угловой скоростью ω (рис. 3.7 ). Разобьем твердое тело на n элементарных масс ∆m i . Каждый элемент массы вращается по окружности радиуса r i с линейной скоростью (). Кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных элементов.

(3.21)

Рис. 3.7

Вспомним по (3.13), что – момент инерции относительно оси ОО.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Е к = (3.22)

Мы рассмотрели кинетическую энергию вращения вокруг неподвижной оси. Если тело участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном движениях, то кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

Например, шар массой m катится; центр масс шара движется поступательно со скоростью u (рис. 3.8 ).

Рис. 3.8

Полная кинетическая энергия шара будет равна

(3.23)

3.4. Момент импульса. Закон сохранения
момента импульса

Физическая величина равная произведению момента инерции I на угловую скорость ω , называется моментом импульса (моментом количества движения) L относительно оси вращения.

– момент импульса величина векторная и по направлению совпадает с направлением угловой скорости .

Продифференцировав уравнение (3.24) по времени, получим

где, М – суммарный момент внешних сил. В изолированной системе момент внешних сил отсутствует (М =0) и

«Физика – 10 класс»

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, – момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса – векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω 2 – ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Таким образом,

ΔL = MΔt. (6.4)

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

ΔL = 0, L = const .

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).

Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа – это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.


Задачи

1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?

2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.

3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.

4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.

5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с 2 . Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м 2 , количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.

6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м 2 .

7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м 2 , якоря 120 кг·м 2 . Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.

11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬОГО

ДВИЖЕНИЯ

Выведем формулу кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной оси. Любая небольшая частица тела совершает поступательное движение по окружности со скоростью , где r i – расстояние до оси вращения, радиус орбиты. Кинетическая энергия частицы массы m i равна . Полная кинетическая энергия системы частиц равна сумме их кинетических энергий. Просуммируем формулы кинетической энергии частиц тела и вынесем за знак суммы половину квадрата угловой скорости, которая одинакова для всех частиц, . Сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела относительно оси вращения . Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости вращения :

С помощью вращающихся тел можно запасать механическую энергию. Такие тела называются маховиками. Обычно это тела вращения. Известно с древности применение маховиков в гончарном круге. В двигателях внутреннего сгорания во время рабочего хода поршень сообщает механическую энергию маховику, который затем три последующих такта совершает работу по вращению вала двигателя. В штампах и прессах маховик приводится во вращение сравнительно маломощным электродвигателем, накапливает механическую энергию почти в течение полного оборота и в кратковременный момент удара отдает ее на работу штампования.

Известны многочисленные попытки применения вращающихся маховиков для привода в движение транспортных средств: легковых автомобилей, автобусов. Их называют махомобили, гировозы. Таких экспериментальных машин было создано немало. Было бы перспективно применять маховики для аккумулирования энергии при торможении электропоездов с целью использования накопленной энергии при последующем разгоне. Известно, что маховичный накопитель энергии используется на поездах метрополитена Нью-Йорка.

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J – момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν 0 =720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω – ω 0 , причём ω =0 конечная угловая скорость, ω 0 =2πν 0 – начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω 0 – βΔt, так как ω=0, ω 0 = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2. 2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Момент сил терния М 1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

M 1 Δt = Iω 2 – Iω 1

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 – момент инерции маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М 2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE к:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.


Тогда, откуда

Отношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1. 33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m 1 и m 2 (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m 1 и m 2 будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m 2 > m 1 .

Тогда груз m 2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m 1 и m 2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T 1 взят со знаком минус, так как сила T 1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I – момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

где R – радиус цилиндра; β – угловое ускорение цилиндра.

Так как проскальзывания нити нет, то
. С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону
. Определить момент приложенной силы.

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения
. Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как
. Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ – плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(J i -момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

J 0 = mℓ 2 /12. (3)

По теореме Штейнера

J =J 0 +mа 2

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J 2 =J 0 +mа 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1

Пример 2.6 . Человек массой m =60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν 1 =12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν 2 будет тогда вращаться платформа.

Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12мин -1 = 0,2с -1 .

Найти: ν 1

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

где
– момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен(R – радиус п
латформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR 2).

– момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2 .

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

откуда искомая частота вращения

Ответ : ν 2 =24мин -1 .

10.4 Момент инерции и кинетическая энергия вращения – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Описать различия между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Определить физическую концепцию момента инерции в терминах распределения массы относительно оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование закона сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения. В этом разделе мы определяем две новые величины, полезные для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическую энергию вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, необходимых для анализа динамики вращения.

Вращательная кинетическая энергия

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как вычислить это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращательное движение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость, которая одинакова для всего твердого тела, чтобы выразить кинетическую энергию вращающегося объекта. (Рисунок) показывает пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникают шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, частично в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме вращательной кинетической энергии .

Рисунок 10.17 Кинетическая энергия вращения точильного камня преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (кредит: Закари Дэвид Белл, ВМС США)

Энергия вращательного движения не является новой формой энергии; скорее, это энергия, связанная с вращательным движением, такая же, как кинетическая энергия при поступательном движении. Однако, поскольку кинетическая энергия равна

   

, а скорость есть величина, разная для каждой точки тела, вращающегося вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную

   

, который одинаков для всех точек на твердом вращающемся теле.Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение

   

, где r — расстояние частицы от оси вращения и

   

– его тангенциальная скорость. Подставляя в уравнение кинетической энергии, находим

   

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая из которых имеет массу

   

и расстояние до оси вращения

   

, так что общая масса тела равна сумме масс отдельных:

   

.Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость

   

, где мы на данный момент опустили индекс t . Полная кинетическая энергия твердого вращающегося тела равна

   

и с

   

для всех масс,

   

Единицами (рисунок) являются джоули (Дж). Уравнение в этой форме полное, но неудобное; нам нужно найти способ обобщить его.

Момент инерции

Если мы сравним (Рисунок) с тем, как мы написали кинетическую энергию в работе и кинетической энергии,

   

, это говорит о том, что у нас есть новая вращательная переменная, которую нужно добавить в наш список отношений между вращательными и поступательными переменными. Количество

   

— аналог массы в уравнении кинетической энергии вращения. Это важный новый термин для вращательного движения. Эта величина называется моментом инерции I с единицами

   

:

   

Пока оставим выражение в виде суммирования, представляющее момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг неподвижной оси. Заметим, что момент инерции одиночной точечной частицы относительно неподвижной оси равен просто

   

, где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения.В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для расчета момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции есть количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса есть количественная мера линейной инерции, т. е. чем массивнее объект, тем больше у него инерция и тем больше его сопротивление изменению линейной скорости. Аналогично, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше их сопротивление изменению угловой скорости относительно неподвижной оси вращения.Интересно посмотреть, как меняется момент инерции с г, расстоянием до оси вращения массовых частиц на (рис.). Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные вблизи оси вращения. Таким образом, мы можем видеть, что полый цилиндр имеет большую инерцию вращения, чем сплошной цилиндр той же массы при вращении вокруг оси, проходящей через центр.Подставляя (Рисунок) в (Рисунок), выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела принимает вид

   

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в накопителях энергии маховика , которые предназначены для накопления большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители в настоящее время испытывают в своих автомобилях накопители энергии маховика, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на (рис.).

Рисунок 10.18 Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville»/Flickr)

Вращательные и поступательные величины для кинетической энергии и инерции приведены на (Рисунок). Столбец отношения не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на (рис.).

Ротационный Трансляционное

   

   

   

   

Пример

Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне пренебрежимо малой массы и 0.5 м в длину. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на (рис.). а) Чему равен момент инерции системы? б) Если убрать две ближние к оси шайбы, каков будет момент инерции оставшихся четырех шайб? в) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.
Стратегия
  1. Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование для оценки этой величины. Все массы одинаковы, поэтому мы можем поставить это количество перед символом суммирования.
  2. Делаем аналогичный расчет.
  3. Подставляем результат (а) в выражение для кинетической энергии вращения.
Раствор
  1.    

    .

  2.    

    .

  3.    

    .

Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы вблизи оси вращения вносят очень небольшой вклад. Когда мы их убрали, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщим уравнение суммирования для точечных частиц и разработаем метод расчета моментов инерции твердых тел. Однако на данный момент (Рисунок) дает значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг указанных осей.

Рисунок 10. 20 Значения инерции вращения для обычных форм объектов

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицу моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие примеры также помогут вам освоиться с этими уравнениями. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

  1. Определите, какая энергия или работа связана с вращением.
  2. Определить интересующую систему. Эскиз обычно помогает.
  3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии.
  4. Если нет потерь энергии на трение и другие неконсервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е.

       

    .

  5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее. Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
  6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру.
  7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая имеет длину 4,00 м и массу 50,0 кг ((Рисунок)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рисунок 10.21 (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. b) спасательная операция на воде с участием вертолета Оклендской спасательной вертолетной службы Westpac. (кредит b: «111 Emergency»/Flickr)
Стратегия

Кинетическая энергия вращения и поступательного движения может быть рассчитана по их определениям.Формулировка задачи дает все необходимые константы для вычисления выражений для вращательной и поступательной кинетических энергий.

Решение
  1. Кинетическая энергия вращения

       

    Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти K . Угловая скорость

       

    это

       

    Момент инерции одной лопасти равен моменту инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанному на (рис.).Сумма I в четыре раза больше этого момента инерции, потому что лопастей четыре. Таким образом,

       

    Ввод

       

    и I в выражение для кинетической энергии вращения дает

       

  2. Подставляя данные значения в уравнение для поступательной кинетической энергии, получаем

       

    Для сравнения кинетических энергий мы берем отношение кинетической энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения. Это соотношение равно

    .

       

Значение

Отношение энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета приходится на его вращающиеся лопасти.

Пример

Энергия в бумеранге

Человек подбрасывает в воздух бумеранг со скоростью 30,0 м/с под углом

   

по отношению к горизонтали ((Рисунок)).Он имеет массу 1,0 кг и вращается со скоростью 10,0 об/с. Момент инерции бумеранга равен

.

   

где

   

. а) Чему равна полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) На какую высоту поднимется бумеранг от высоты руки, если пренебречь сопротивлением воздуха?

Рисунок 10.22 Бумеранг брошен в воздух под начальным углом

   

.

Стратегия

Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы. Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потерях энергии. В части (b) мы используем закон сохранения механической энергии, чтобы найти максимальную высоту бумеранга.

Решение
  1. Момент инерции:

       

    .Угловая скорость:

       

    . Следовательно, кинетическая энергия вращения равна

    .

       

    Поступательная кинетическая энергия равна

       

    Таким образом, полная энергия бумеранга равна

       

  2. Мы используем закон сохранения механической энергии.Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы через ее линейную кинетическую энергию, используя скорость в направлениях x и y . Полная энергия, когда бумеранг покидает руку, равна

       

    Суммарная энергия на максимальной высоте

       

    Путем сохранения механической энергии,

       

    , то есть после отмены подобных условий имеем

    .

       

    С

       

    , находим

       

Значение

В части (b) решение демонстрирует, как сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики.При отсутствии сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась в решении для максимальной высоты.

Проверьте свое понимание

Винт атомной подводной лодки имеет момент инерции

   

. Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об/с при выключенном двигателе, то какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда гидросопротивление уберет из системы 50 000 Дж?

[reveal-answer q=”fs-id1167133407380″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167133407380″]

Начальная кинетическая энергия вращения винта равна

   

.

В 5,0 с новая кинетическая энергия вращения винта равна

   

.

и новая угловая скорость

   

, что составляет 3,58 об/с.

[/скрытый ответ]

Резюме

  • Кинетическая энергия вращения – это кинетическая энергия вращения вращающегося твердого тела или системы частиц, определяемая выражением

       

    , где I — момент инерции, или «вращательная масса» твердого тела или системы частиц.

  • Момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг неподвижной оси, равен

       

    , где

       

    — масса точечной частицы, а

       

    — расстояние от точечной частицы до оси вращения. Из-за

       

    , момент инерции увеличивается пропорционально квадрату расстояния до неподвижной оси вращения. Момент инерции является вращательным аналогом массы в прямолинейном движении.

  • В системах, которые одновременно вращаются и перемещаются, можно использовать закон сохранения механической энергии, если не действуют неконсервативные силы. Тогда полная механическая энергия сохраняется и представляет собой сумму кинетической энергии вращения и поступательного движения, а также потенциальной энергии гравитации.

Концептуальные вопросы

Что, если бы другая планета размером с Землю была выведена на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Момент инерции системы увеличится, уменьшится или останется прежним?

Твердый шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с постоянной скоростью вращения.Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси, проходящей через центр, с той же скоростью вращения. Какой шар имеет большую кинетическую энергию вращения?

[reveal-answer q=”fs-id1167133686306″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167133686306″]

Полая сфера, так как масса распределена дальше от оси вращения.

[/скрытый ответ]

Проблемы

Система точечных частиц показана на следующем рисунке. Каждая частица имеет массу 0,3 кг и все они лежат в одной плоскости. а) Чему равен момент инерции системы относительно данной оси? б) Если система вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

(а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

[reveal-answer q=”fs-id1167133871955″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167133871955″]

а.

   

б.

   

[/скрытый ответ]

Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла массой 12 кг, если его угловая скорость равна 120 рад/с, внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус равен 0,330 м.

Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором происходит вращение предплечья вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава равна 20,0 м/с на расстоянии 0. 480 м от сустава и момент инерции предплечья

   

, какова вращательная кинетическая энергия предплечья?

[reveal-answer q=”fs-id1167133328943″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167133328943″] ​​

   

[/скрытый ответ]

Водолаз совершает сальто во время погружения, поджимая конечности друг к другу. Если ее кинетическая энергия вращения равна 100 Дж, а ее момент инерции в группировке равен

   

, какова скорость ее вращения во время сальто?

Самолет заходит на посадку на высоте 300 метров, когда отваливается винт.Самолет летит горизонтально со скоростью 40,0 м/с. Винт имеет скорость вращения 20 об/с, момент инерции

   

и массой 200 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. а) С какой поступательной скоростью гребной винт ударяется о землю? б) Какова скорость вращения пропеллера в момент удара?

[reveal-answer q=”fs-id1167132287070″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167132287070″]

а.

   

;
б.Скорость вращения винта остается прежней и составляет 20 об/с.

[/скрытый ответ]

Если в предыдущей задаче присутствует сопротивление воздуха и оно снижает кинетическую энергию вращения пропеллера при ударе на 30%, какова скорость вращения пропеллера при ударе?

Нейтронная звезда с массой

   

и радиусом 10 км вращается с периодом 0,02 секунды. Какова его кинетическая энергия вращения?

[reveal-answer q=”fs-id1167132279482″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1167132279482″]

   

[/скрытый ответ]

Электрическая шлифовальная машина, состоящая из вращающегося диска массой 0.7 кг и радиусом 10 см вращается со скоростью 15 об/сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Чему равна конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на который насажен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. ниже). Система вращается вокруг оси, проходящей через центр диска и кольцевой цилиндр со скоростью 10 об/с.а) Чему равен момент инерции системы? б) Какова его кинетическая энергия вращения?

[reveal-answer q=”535401″]Показать ответ[/reveal-answer]
[скрытый-answer a=”535401″]a.

   

; б.

   

[/скрытый ответ]

Глоссарий

момент инерции
вращающаяся масса твердых тел, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела
кинетическая энергия вращения
кинетическая энергия за счет вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

10.4 Момент инерции и кинетическая энергия вращения — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Описать различия между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Определить физическую концепцию момента инерции в терминах распределения массы относительно оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование закона сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения. В этом разделе мы определяем две новые величины, полезные для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическую энергию вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, необходимых для анализа динамики вращения.

Вращательная кинетическая энергия

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как вычислить это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращательное движение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость, которая одинакова для всего твердого тела, чтобы выразить кинетическую энергию вращающегося объекта. На рис. 10.17 показан пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникают шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, частично в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения.

Фигура 10.17 Кинетическая энергия вращения точильного камня преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (кредит: Закари Дэвид Белл, ВМС США)

Энергия вращательного движения не является новой формой энергии; скорее, это энергия, связанная с вращательным движением, такая же, как кинетическая энергия при поступательном движении. Однако, поскольку кинетическая энергия определяется выражением K=12mv2K=12mv2, а скорость — величина, разная для каждой точки тела, вращающегося вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную ωω , который одинаков для всех точек на твердом вращающемся теле.Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение vt=ωrvt=ωr, где r — расстояние частицы от оси вращения, а vtvt — ее тангенциальная скорость. Подставляя в уравнение кинетической энергии, находим

K=12mvt2=12m(ωr)2=12(mr2)ω2.K=12mvt2=12m(ωr)2=12(mr2)ω2.

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая с массой mjmj и расстоянием до оси вращения rjrj, так что полная масса тела равна сумма отдельных масс: M=∑jmjM=∑jmj.Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость vjvj, где мы временно опустили индекс t . Полная кинетическая энергия твердого вращающегося тела равна

K=∑j12mjvj2=∑j12mj(rjωj)2K=∑j12mjvj2=∑j12mj(rjωj)2

, а поскольку ωj=ωωj=ω для всех масс,

K=12(∑jmjrj2)ω2.K=12(∑jmjrj2)ω2.

10.16

Единицами уравнения 10.16 являются джоули (Дж). Уравнение в этой форме полное, но неудобное; нам нужно найти способ обобщить его.

Момент инерции

Если мы сравним уравнение 10.16 к тому, как мы записали кинетическую энергию в работе и кинетической энергии, (12mv2)(12mv2), это предполагает, что у нас есть новая вращательная переменная, которую нужно добавить в наш список отношений между вращательными и поступательными переменными. Величина ∑jmjrj2∑jmjrj2 соответствует массе в уравнении для кинетической энергии вращения. Это важный новый термин для вращательного движения. Эта величина называется моментом инерции I , в единицах кг·м2кг·м2:

I=∑jmjrj2.I=∑jmjrj2.

10.17

Пока оставим выражение в виде суммирования, представляющее момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг неподвижной оси.Заметим, что момент инерции отдельной точечной частицы относительно неподвижной оси равен просто mr2mr2, где r — это расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для расчета момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции есть количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса есть количественная мера линейной инерции, т. е. чем массивнее объект, тем больше у него инерция и тем больше его сопротивление изменению линейной скорости. Аналогично, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше их сопротивление изменению угловой скорости относительно неподвижной оси вращения. Интересно посмотреть, как меняется момент инерции с r, расстоянием до оси вращения массовых частиц в уравнении 10.17. Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные вблизи оси вращения.Таким образом, мы можем видеть, что полый цилиндр имеет большую инерцию вращения, чем сплошной цилиндр той же массы при вращении вокруг оси, проходящей через центр. Подставив уравнение 10.17 в уравнение 10.16, выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела станет равным

.

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии маховика, которые предназначены для накопления большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители в настоящее время испытывают в своих автомобилях накопители энергии маховика, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на рис. 10.18.

Фигура 10.18 Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville»/Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены в таблице 10.4. Столбец отношения не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных в таблице 10.3.

Поворотный Трансляционное
I=∑jmjrj2I=∑jmjrj2 мм
К=12Iω2K=12Iω2 К=12мв2К=12мв2

Стол 10. 4 Вращательная и поступательная кинетическая энергия и инерция

Пример 10,8

Момент инерции системы частиц
Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне пренебрежимо малой массы и 0.5 м в длину. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на рис. 10.19. а) Чему равен момент инерции системы? б) Если убрать две ближние к оси шайбы, каков будет момент инерции оставшихся четырех шайб? в) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Фигура 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы, вращающемся вокруг вертикальной оси.

Стратегия
  1. Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование для оценки этой величины. Все массы одинаковы, поэтому мы можем поставить это количество перед символом суммирования.
  2. Делаем аналогичный расчет.
  3. Подставляем результат (а) в выражение для кинетической энергии вращения.
Раствор
  1. I=∑jmjrj2=(0,02 кг)(2×(0,25 м)2+2×(0,15 м)2+2×(0,05 м)2)=0.0035кг·м2I=∑jmjrj2=(0,02кг)(2×(0,25м)2+2×(0,15м)2+2×(0,05м)2)=0,0035кг·м2.
  2. I=∑jmjrj2=(0,02 кг)(2×(0,25 м)2+2×(0,15 м)2)=0,0034 кг·м2I=∑jmjrj2=(0,02 кг)(2×(0,25 м)2+2 ×(0,15 м)2)=0,0034 кг·м2.
  3. K=12Iω2=12(0,0035кг·м2)(5,0×2πрад/с)2=1,73JK=12Iω2=12(0,0035кг·м2)(5,0×2πрад/с)2=1,73Дж.
Значение
Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы вблизи оси вращения вносят очень небольшой вклад. Когда мы их убрали, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщим уравнение суммирования для точечных частиц и разработаем метод расчета моментов инерции твердых тел. Однако пока на рис. 10.20 приведены значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Фигура 10.20 Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

Применение вращательной кинетической энергии

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицу моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами.Следующие примеры также помогут вам освоиться с этими уравнениями. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем

Энергия вращения
  1. Определите, какая энергия или работа связана с вращением.
  2. Определить интересующую систему. Эскиз обычно помогает.
  3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии.
  4. Если нет потерь энергии на трение и другие неконсервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. Ki+Ui=Kf+UfKi+Ui=Kf+Uf.
  5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее. Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
  6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру.
  7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример 10,9

Расчет энергии вертолета
Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: по 4 на каждой.00 м в длину и имеет массу 50,0 кг (рис. 10.21). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине. Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Фигура 10.21 (а) Эскиз четырехлопастного вертолета.b) спасательная операция на воде с участием вертолета Оклендской спасательной вертолетной службы Westpac. (кредит b: модификация работы «111 Emergency»/Flickr)

Стратегия
Вращательная и поступательная кинетическая энергия может быть рассчитана по их определениям. Формулировка задачи дает все необходимые константы для вычисления выражений для вращательной и поступательной кинетических энергий.
Решение
  1. Кинетическая энергия вращения Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти K .Угловая скорость ωω равна ω=300об1.00мин2πрад1 об1.00мин60.0с=31.4рад.ω=300об1.00мин2πрад1 об1.00мин60.0с=31.4рад. Момент инерции одной лопасти равен моменту инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, как показано на рис. 10.20. Сумма I в четыре раза больше этого момента инерции, потому что лопастей четыре. Таким образом, I=4Ml23=4×(50,0 кг)(4,00 м)23=1067,0 кг·м2. I=4Ml23=4×(50,0 кг)(4,00 м)23=1067,0 кг·м2. Ввод ωω и I в выражение для кинетической энергии вращения дает К=0,5(1067кг·м2)(31.4 рад/с)2=5,26×105 Дж. K=0,5(1067 кг·м2)(31,4 рад/с)2=5,26×105 Дж.
  2. Подставляя данные значения в уравнение для поступательной кинетической энергии, получаем K=12mv2=(0,5)(1000,0 кг)(20,0 м/с)2=2,00×105 Дж. K=12mv2=(0,5)(1000,0 кг)(20,0 м/с)2=2,00×105 Дж. Для сравнения кинетических энергий мы берем отношение кинетической энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения. Это соотношение 2,00×105 Дж5,26×105 Дж=0,380,2,00×105 Дж5,26×105 Дж=0,380.
Значение
Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии равно только 0.380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета приходится на его вращающиеся лопасти.

Пример 10.10

Энергия в бумеранге
Человек подбрасывает в воздух бумеранг со скоростью 30,0 м/с под углом 40,0°40,0° к горизонту (рис. 10.22). Он имеет массу 1,0 кг и вращается со скоростью 10,0 об/с. Момент инерции бумеранга равен I=112mL2I=112mL2, где L=0,7mL=0,7м. а) Чему равна полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) На какую высоту поднимется бумеранг от высоты руки, если пренебречь сопротивлением воздуха? Фигура 10.22 Бумеранг брошен в воздух под начальным углом 40°40°.
Стратегия
Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы. Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потерях энергии. В части (b) мы используем закон сохранения механической энергии, чтобы найти максимальную высоту бумеранга.
Решение
  1. Момент инерции: I=112мL2=112(1,0кг)(0,7м)2=0,041кг·м2I=112мL2=112(1.0кг)(0,7м)2=0,041кг·м2.
    Угловая скорость: ω=(10,0об/с)(2π)=62,83рад/сω=(10,0об/с)(2π)=62,83рад/с.
    Следовательно, кинетическая энергия вращения равна KR=12(0,041кг·м2)(62,83рад/с)2=80,93Дж. KR=12(0,041кг·м2)(62,83рад/с)2=80,93Дж. Поступательная кинетическая энергия КТ=12мв2=12(1,0кг)(30,0м/с)2=450,0Дж. КТ=12мв2=12(1,0кг)(30,0м/с)2=450,0Дж. Таким образом, полная энергия бумеранга равна KTotal=KR+KT=80,93+450,0=530,93 Дж. KTotal=KR+KT=80,93+450,0=530,93 Дж.
  2. Мы используем закон сохранения механической энергии.Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы через ее линейную кинетическую энергию, используя скорость в направлениях x и y . Полная энергия, когда бумеранг покидает руку, равна EBefore=12mvx2+12mvy2+12Iω2.EBefore=12mvx2+12mvy2+12Iω2. Полная энергия на максимальной высоте равна EFinal=12mvx2+12Iω2+mgh.EFinal=12mvx2+12Iω2+mgh. По закону сохранения механической энергии EBefore=EFinalEBefore=EFinal, поэтому после сокращения подобных членов мы имеем Так как vy=30.0м/с(sin40°)=19,28м/svy=30,0м/с(sin40°)=19,28м/с, находим h=(19,28 м/с)22(9,8 м/с2)=18,97 м.h=(19,28 м/с)22(9,8 м/с2)=18,97 м.
Значение
В части (b) решение демонстрирует, как сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики. При отсутствии сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась в решении для максимальной высоты.

Проверьте свое понимание 10.4

Момент инерции гребного винта атомной подводной лодки равен 800.0кг·м2800,0кг·м2. Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об/с при выключенном двигателе, то какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда гидросопротивление уберет из системы 50 000 Дж?

Энергия катящегося объекта

Введение

В этом эксперименте мы применим закон сохранения энергии к объектам, катящимся по пандусу. Когда объект катится по склону, его гравитационная потенциальная энергия преобразуется как в поступательную, так и в вращательную кинетическую энергию. Поступательная кинетическая энергия

( 1 )

KE транс = (1/2)mv 2  

тогда как кинетическая энергия вращения

( 2 )

KE rot = (1/2)I ω 2  

В этом последнем уравнении ω — это угловая скорость в радианах/с, а I — это момент объекта. инерция. Для объектов с простой круговой симметрией (например, сфер и цилиндров) относительно оси вращения I можно записать в виде: где м — масса объекта, а r — его радиус.Геометрический фактор k является константой, которая зависит от формы объекта:
  • K K = 2/5 = 0,4 = 2/5 = 0,4 для однородной сплошной сферы,
    K = 1/2 = 0,5 Для однородного диска или твердого цилиндра ,
    k = 1      для обруча или полого цилиндра.
Если объект катится без проскальзывания, то линейная скорость объекта и угловая скорость связаны на

v = r ω .

Подставляя уравнение 3

I = kmr 2  

 и выражение для v в уравнение 2

KE rot = (1/2)I ω 2 , получаем:

( 4 )

KE rot = (1/2)kmv 2  

Рисунок 1

Представьте себе круглый объект, катящийся по пандусу, как на иллюстрации выше.Предполагая отсутствие потерь энергии, мы можем записать уравнение сохранения энергии в виде:
Общая энергия на вершине рампы = общая энергия в нижней части рампы,
E гравитационные 2 = E Reversation + E Rotational

или,

( 5 )

мгч = (1/2)мв 2 + (1/2)кмв 2 .

Мы можем определить v , анализируя движение мяча после того, как он покинет стол.напоминая, что горизонтальное и вертикальное движение снаряда можно рассматривать независимо друг от друга. а также где t — время полета, х — горизонтальная дальность, а H — вертикальная высота аппарели над полом. Эти два уравнения (6a

x = vt

и 6b

H = (1/2)gt 2  

) можно объединить, исключив t , чтобы получить следующее выражение для скорости через x и Х .Следовательно, энергия катящегося объекта может быть полностью проанализирована с точки зрения измеренных значений: м , ч , H , x , и ускорение свободного падения g .

Процедура

Часть 1

  • 1

    Выровняйте нижнюю поверхность пандуса и лотка.
  • 2

    Выберите один объект из предоставленной коллекции сплошных сфер, сплошных цилиндров и круглых колец. Определите размер и вес этого объекта, записав его диаметр и массу.
  • 3

    Катите объект вниз по рампе, начиная с вершины рампы, замечая, в какой точке предмет попадает в приемный лоток. Отрегулируйте лоток так, чтобы эта точка была ближе к дальнему концу лотка.
  • 4

    Лист белой бумаги, приклеенный клейкой лентой в лотке и покрытый куском копировальной бумаги («обугленный» лицевой стороной вниз), зафиксирует точку удара объекта. Используйте только один лист копировальную бумагу и не приклеивайте ее скотчем, перемещайте ее, чтобы записывать удары! По месту удара можно определить x . Выберите не менее 6 высот , h , от 15 см до 35 см и скатите объект вниз по пандусу несколько раз с каждой высоты. Укажите очень конкретно, как вы определяете высоту h . Постарайтесь поймать объект после первого отскока, чтобы избежать случайных следов на бумаге.
  • 5

    Измерьте расстояние по горизонтали от края стола до каждой метки и введите это расстояние как x в Таблицу 1.Отвесы помогут вам найти правильную точку для измерения (ваш инструктор продемонстрирует это). Рекомендуется периодически проверять, чтобы убедиться, что ваш лоток не сместился под воздействием предметов, которые могли бы ввести ошибку.
  • 6

    Сделайте несколько измерений H , расстояния, на котором объект падает от нижней части пандуса.

Часть 2

Выберите 5 различных объектов и запишите описательную информацию о физических характеристиках каждого объекта (форма, масса, диаметр и т. д.).). Прежде чем катить каждый объект по пандусу, спрогнозируйте и запишите относительное горизонтальное расстояние, которое каждый объект пройдет (порядок ранжирования). Катите каждый объект несколько раз с одной и той же начальной высоты, чтобы наблюдать разницу в горизонтальном расстоянии, которое каждый объект приземляет от конца пандуса. Будьте внимательны при использовании процедуры, гарантирующей, что объекты разных радиусы катятся через то же расстояние по вертикали, ч , и объясните метод, который вы использовали для выполнения этой задачи. Измерьте и запишите среднее значение x для каждого объекта.

Убедитесь, что ваши данные инициализированы, ваш ассистент инициализирует ваши данные и передаст копию, прежде чем вы покинуть лабораторную комнату.

Анализ

Часть 1

  • 1

    Заполните таблицы данных информацией, необходимой для расчета начальной потенциальной энергии, а также поступательной и вращательной кинетической энергии для каждой высоты выброса. Рассчитайте эти значения энергии и определите процент энергии, «потерянной» из-за неконсервативных факторов, которые были предполагается незначительным.Какое влияние оказывает высота выброса на ваши результаты?
  • 2

    Оцените неопределенность ваших измерений и сравните с долей потерь энергия. Исходя из этого сравнения, сохраняется ли механическая энергия?

Часть 2

Повели себя ли различные объекты в соответствии с вашими предсказаниями? Какой фактор является наиболее важным при определении пройденного расстояния по горизонтали? Используйте свои результаты, чтобы найти общее правило для прогнозирования эффективности преобразования гравитационной энергии в поступательную кинетическую энергию для объекта, катящегося по пандусу.

Обсуждение

В какой степени была сохранена энергия для этого эксперимента? Какие неконсервативные факторы больше всего ответственны за потерю механической энергии в этом эксперименте? Каковы результаты зависит от начальной высоты выброса или типа объекта? Существует ли общее правило для определения процента начальной потенциальной энергии, которая преобразуется в поступательную кинетическую энергию для объекта, катящегося по пандусу? Какой фактор является наиболее важным в определении этого преобразования энергии соотношение? Какие факторы не имеют значения? Как трение влияет на этот эксперимент? Если трения недостаточно для того, чтобы объект катился без скольжения, как это повлияет на расстояние по горизонтали, x ? Что еще вы узнали из этого эксперимента?

Copyright © 2011 Advanced Instructional Systems, Inc. и Университет Северной Каролины | Кредиты

10.4 Момент инерции и кинетическая энергия вращения – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Описать различия между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Определить физическую концепцию момента инерции в терминах распределения массы относительно оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование закона сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, полезные для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическую энергию вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, необходимых для анализа динамики вращения.

Вращательная кинетическая энергия

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как вычислить это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращательное движение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость, которая одинакова для всего твердого тела, чтобы выразить кинетическую энергию вращающегося объекта. На рисунке показан пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникают шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, частично в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме вращательной кинетической энергии . {2}[/latex], а скорость — это величина, разная для каждой точки тела, вращающегося вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную [latex]\omega[/ латекс], который одинаков для всех точек на твердом вращающемся теле. Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение [latex]{v}_{\text{t}}=\omega r[/latex], где r — расстояние частицы от ось вращения, а [latex]{v}_{\text{t}}[/latex] – его тангенциальная скорость.{2}.[/латекс]

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая из которых имеет массу [латекс]{м}_{j}[/латекс] и расстояние до оси вращения [ латекс]{r}_{j}[/latex], так что общая масса тела равна сумме масс отдельных лиц: [latex]M=\sum _{j}{m}_{j} [/латекс]. Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость [латекс]{v}_{j}[/латекс], где мы временно опустили индекс t . {2}.{2}[/latex], где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для расчета момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции есть количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса есть количественная мера линейной инерции, т. е. чем массивнее объект, тем больше у него инерция и тем больше его сопротивление изменению линейной скорости.Аналогично, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше их сопротивление изменению угловой скорости относительно неподвижной оси вращения. Интересно посмотреть, как меняется момент инерции с г, расстоянием до оси вращения массовых частиц на рис. Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные вблизи оси вращения. {2}.[/латекс]

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в накопителях энергии маховика , которые предназначены для накопления большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители в настоящее время испытывают в своих автомобилях накопители энергии маховика, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на рисунке.

Рис. 10.18 A Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville»/Flickr)

Вращательные и поступательные величины для кинетической энергии и инерции приведены на рисунке. Столбец отношений не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на рисунке.

Пример
Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне пренебрежимо малой массы и 0.5 м в длину. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на рис. а) Чему равен момент инерции системы? б) Если убрать две ближние к оси шайбы, каков будет момент инерции оставшихся четырех шайб? в) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.{2}=1,73\,\text{J}[/латекс].
Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы вблизи оси вращения вносят очень небольшой вклад. Когда мы их убрали, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщим уравнение суммирования для точечных частиц и разработаем метод расчета моментов инерции твердых тел. Однако пока на рисунке приведены значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Рисунок 10.20 Значения инерции вращения для обычных форм объектов

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицу моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие примеры также помогут вам освоиться с этими уравнениями. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

  1. Определите, какая энергия или работа связана с вращением.
  2. Определить интересующую систему. Эскиз обычно помогает.
  3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии.
  4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть [латекс] {K} _ {\ text {i}} + {U} ​​_ {\ text {i}} ={K}_{\text{f}}+{U}_{\text{f}}[/латекс].
  5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
  6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру.
  7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая имеет длину 4,00 м и массу 50,0 кг (рисунок). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рисунок 10.21 (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. b) спасательная операция на воде с участием вертолета Оклендской спасательной вертолетной службы Westpac. (кредит b: «111 Emergency»/Flickr)
Стратегия

Кинетическая энергия вращения и поступательного движения может быть рассчитана по их определениям.{2}.[/латекс]

Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти K . Угловая скорость [латекс]\омега[/латекс] равна

[латекс]\omega =\frac{300\,\text{rev}}{1.00\,\text{min}}\,\frac{2\pi \,\text{rad}}{\text{1 rev}}\,\frac{1.00\,\text{min}}{60.0\,\text{s}}=\,31.4\,\frac{\text{rad}}{\text{s}}. [/латекс]

Момент инерции одной лопасти равен моменту инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанному на рис.{2}=450,0\,\text{J}.[/latex]

Таким образом, полная энергия бумеранга равна

[латекс] {K} _ {\ text {Всего}} = {K} _ {\ text {R}} + {K} _ {\ text {T}} = 80,93 + 450,0 = 530,93 \, \ text { J}. {2}[/латекс].{2}[/latex] момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции является вращательным аналогом массы в прямолинейном движении.

  • В системах, которые одновременно вращаются и перемещаются, можно использовать закон сохранения механической энергии, если не действуют неконсервативные силы. Тогда полная механическая энергия сохраняется и представляет собой сумму кинетической энергии вращения и поступательного движения, а также потенциальной энергии гравитации.
  • Концептуальные вопросы

    Что, если бы другая планета размером с Землю была выведена на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Момент инерции системы увеличится, уменьшится или останется прежним?

    Твердый шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с постоянной скоростью вращения. Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси, проходящей через центр, с той же скоростью вращения. Какой шар имеет большую кинетическую энергию вращения?

    Показать решение

    Полая сфера, так как масса распределена дальше от оси вращения.

    Проблемы

    Система точечных частиц показана на следующем рисунке. Каждая частица имеет массу 0,3 кг и все они лежат в одной плоскости. а) Чему равен момент инерции системы относительно данной оси? б) Если система вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

    (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

    Показать решение

    а.{33}\,\text{J}[/латекс]

    Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла массой 12 кг, если его угловая скорость равна 120 рад/с, внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус равен 0,330 м.

    Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором происходит вращение предплечья вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава равна 20,0 м/с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья равен [латекс]0. {30}\,\text{кг}[/латекс] и радиусом 10 км вращается с периодом 0.{42}\,\text{J}[/латекс]

    Электрический шлифовальный станок, состоящий из вращающегося диска массой 0,7 кг и радиусом 10 см, вращается со скоростью 15 об/сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Чему равна конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

    Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на который насажен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. ниже).{2}[/латекс]; б. [латекс]К=621,8\,\текст{J}[/латекс]

    Глоссарий

    момент инерции
    вращающаяся масса твердых тел, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела
    кинетическая энергия вращения
    кинетическая энергия за счет вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

    Новый взгляд на работу и энергию – College Physics

    Резюме

    • Выведите уравнение для вращательной работы.
    • Рассчитать кинетическую энергию вращения.
    • Демонстрация закона сохранения энергии.

    В этом модуле мы узнаем о работе и энергии, связанных с вращательным движением. На рис. 1 показан рабочий, использующий электрический точильный камень с двигателем. Искры летят, а шум и вибрация создаются, когда слои стали срезаются со столба. Камень продолжает вращаться даже после выключения двигателя, но в конце концов останавливается из-за трения.Ясно, что мотор должен был работать, чтобы камень вращался. Эта работа заключалась в тепле, свете, звуке, вибрации и значительной вращательной кинетической энергии .

    Рисунок 1. Двигатель вращает точильный камень, придавая ему кинетическую энергию вращения. Затем эта энергия преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (Фото: ВМС США, фото моряка Закари Дэвида Белла, специалиста по массовым коммуникациям)Работа была определена в главе 6 «Равномерное круговое движение и гравитация» для поступательного движения, и мы можем опираться на это знание при рассмотрении работы, совершаемой при вращательном движении. Простейшая вращательная ситуация — это та, в которой результирующая сила приложена перпендикулярно радиусу диска (как показано на рисунке 2) и остается перпендикулярной, когда диск начинает вращаться. Сила параллельна смещению, поэтому чистая выполненная работа является произведением силы на пройденную длину дуги:

    Чтобы получить крутящий момент и другие величины вращения в уравнении, мы умножаем и делим правую часть уравнения на и собираем члены:

    Мы признаем это и поэтому

    Это уравнение является выражением для вращательной работы.Это очень похоже на знакомое определение поступательной работы как произведение силы на расстояние. Здесь крутящий момент аналогичен силе, а угол аналогичен расстоянию. Уравнение справедливо в общем случае, хотя оно было выведено для частного случая.

    Чтобы получить выражение для кинетической энергии вращения, мы должны снова произвести некоторые алгебраические манипуляции. Первый шаг — отметить, что для того, чтобы

    Рисунок 2. Суммарная сила, действующая на этот диск, сохраняется перпендикулярной его радиусу, поскольку сила заставляет диск вращаться.Таким образом, чистая выполненная работа равна (чистая F с . Чистая работа переходит в кинетическую энергию вращения.

    Теперь решим одно из уравнений вращательной кинематики. Начнем с уравнения

    Далее находим

    Подставляя это в уравнение для чистых и собирательных условий, получаем

    Это уравнение является теоремой работы-энергии только для вращательного движения. Как вы помните, работа сети изменяет кинетическую энергию системы.По аналогии с поступательным движением мы определяем термин как кинетическая энергия вращения для объекта с моментом инерции и угловой скоростью

    Выражение для кинетической энергии вращения в точности аналогично поступательной кинетической энергии, поскольку аналогично и кинетическая энергия вращения имеет важные эффекты. Маховики, например, могут использоваться для накопления большого количества кинетической энергии вращения в транспортном средстве, как показано на рисунке 3.

    Рис. 3. Были сконструированы экспериментальные автомобили, такие как этот автобус, в которых кинетическая энергия вращения хранится в большом маховике. Когда автобус спускается с холма, его трансмиссия преобразует потенциальную энергию гравитации в KE rot . Он также может преобразовывать поступательную кинетическую энергию, когда автобус останавливается, в KE rot . Затем энергию маховика можно использовать для ускорения, подъема на другой холм или предотвращения движения автобуса против трения.

    Пример 1: Расчет работы и энергии для вращения точильного камня

    Рассмотрим человека, который крутит большой точильный камень, положив руку на его край и прикладывая силу на протяжении части оборота, как показано на рис. 4. В этом примере мы проверяем, что работа, выполняемая крутящим моментом, равна изменению энергия вращения. (a) Какая работа будет совершена, если она приложит силу 200 Н при вращении. Сила удерживается перпендикулярно радиусу 0,320 м точильного камня в точке приложения, а эффекты трения пренебрежимо малы.б) Какова конечная угловая скорость, если точильный камень имеет массу 85,0 кг? в) Чему равна конечная кинетическая энергия вращения? (Это должно равняться работе.)

    Стратегия

    Чтобы найти работу, мы можем использовать уравнение У нас достаточно информации для расчета крутящего момента и задан угол поворота. Во второй части мы можем найти конечную угловую скорость, используя одно из кинематических соотношений. В последней части мы можем рассчитать кинетическую энергию вращения из ее выражения в

    Решение для (а)

    Чистая работа выражается уравнением

    , где нетто — это приложенная сила, умноженная на радиус, поскольку тормозящего трения нет, а сила перпендикулярна заданному углу.Подстановка данных значений в приведенное выше уравнение дает

    Принимая во внимание, что

    Рисунок 4. Большой точильный камень приводится во вращение человеком, взявшимся за его внешний край.

    Решение для (b)

    Чтобы найти по данной информации, требуется более одного шага. Начнем с кинематической связи в уравнении

    Обратите внимание, потому что мы начинаем с состояния покоя. Извлечение квадратного корня из полученного уравнения дает

    Теперь нам нужно найти один вариант

    где крутящий момент

    Формула для момента инерции диска находится в разделе «Создание соединений»:

    Подставляя значения крутящего момента и момента инерции в выражение для получаем

    Теперь подставьте это значение и данное значение в приведенное выше выражение для

    .

    Раствор для (с)

    Конечная кинетическая энергия вращения равна

    Оба и были найдены выше.Таким образом,

    Обсуждение

    Конечная кинетическая энергия вращения равна работе, проделанной крутящим моментом, что подтверждает, что проделанная работа превратилась в кинетическую энергию вращения. На самом деле мы могли бы использовать выражение для энергии вместо кинематического соотношения для решения части (b). Мы сделаем это в последующих примерах.

    Пилоты вертолетов хорошо знакомы с кинетической энергией вращения. Они знают, например, что точка невозврата будет достигнута, если они позволят своим лопастям замедляться ниже критической угловой скорости во время полета.Лопасти теряют подъемную силу, и невозможно сразу заставить лопасти вращаться достаточно быстро, чтобы восстановить ее. Кинетическая энергия вращения должна быть подведена к лопастям, чтобы заставить их вращаться быстрее, и не может быть вовремя подведена энергия, достаточная для того, чтобы избежать аварии. Из-за ограничений по весу вертолетные двигатели слишком малы, чтобы обеспечить как энергию, необходимую для подъема, так и пополнение кинетической энергии вращения лопастей после их замедления. Кинетическая энергия вращения закладывается в них перед взлетом и не должна опускаться ниже этого критического уровня. Одним из возможных способов избежать аварии является использование гравитационной потенциальной энергии вертолета для пополнения кинетической энергии вращения лопастей за счет снижения высоты и выравнивания лопастей таким образом, чтобы вертолет раскручивался при снижении. Конечно, если высота вертолета слишком мала, лопасть не успевает восстановить подъемную силу, прежде чем коснется земли.

    СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ДЛЯ ЭНЕРГИИ ВРАЩЕНИЯ

    1. Определить, какая энергия или работа связана с вращением .
    2. Определить интересующую систему . Эскиз обычно помогает.
    3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии, связанные с .
    4. В закрытых системах сохраняется механическая энергия . То есть обратите внимание, что и каждый из них может включать поступательные и вращательные вклады.
    5. Для открытых систем механическая энергия может не сохраняться, и другие формы энергии (упоминаемые ранее как ), такие как теплопередача, могут входить в систему или выходить из нее. Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
    6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру .
    7. Проверьте правильность ответа .

    Пример 2: расчет энергии вертолета

    Типичный небольшой спасательный вертолет, аналогичный показанному на рис. 5, имеет четыре лопасти, каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг. Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей. в) На какую высоту можно было бы поднять вертолет, если бы для его подъема использовалась вся кинетическая энергия вращения?

    Стратегия

    Кинетическая энергия вращения и поступательного движения может быть рассчитана по их определениям. Последняя часть проблемы связана с идеей о том, что энергия может изменять форму, в данном случае от вращательной кинетической энергии к гравитационной потенциальной энергии.

    Решение для (а)

    Кинетическая энергия вращения равна

    Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти Угловая скорость равна

    Момент инерции одной лопасти будет равен моменту инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, найденного в «Создание соединений».В сумме этот момент инерции умножается на четыре, потому что лопастей четыре. Таким образом,

    Ввод и в выражение для кинетической энергии вращения дает

    Решение для (b)

    Поступательная кинетическая энергия была определена в главе 6 «Равномерное круговое движение и гравитация». Вводя заданные значения массы и скорости, получаем

    Для сравнения кинетических энергий мы берем отношение кинетической энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения. Это соотношение равно

    .

    Раствор для (с)

    На максимальной высоте вся кинетическая энергия вращения будет преобразована в энергию гравитации. Чтобы найти эту высоту, мы приравниваем эти две энергии:

    или

    Теперь мы находим и подставляем известные значения в полученное уравнение

    Обсуждение

    Отношение энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета приходится на его вращающиеся лопасти, о чем вы, вероятно, не подозреваете.Высота 53,7 м, на которую вертолет можно было поднять за счет кинетической энергии вращения, также впечатляет, что еще раз подчеркивает количество кинетической энергии вращения в лопастях.

    Рисунок 5. На первом изображении показано, как вертолеты накапливают большое количество вращательной кинетической энергии в своих лопастях. Эту энергию необходимо вложить в лопасти перед взлетом и сохранить до конца полета. Двигатели не обладают достаточной мощностью, чтобы одновременно обеспечивать подъемную силу и передавать значительную вращательную энергию лопастям.На втором изображении показан вертолет спасательной вертолетной службы Окленда Westpac. С начала его работы в 1973 году было спасено более 50 000 жизней. Здесь показана операция по спасению на воде. (кредит: 111 Emergency, Flickr)

    Один из способов контроля качества на фабрике по производству томатных супов состоит в том, что наполненные банки скатываются по наклонной плоскости. Если они свернутся слишком быстро, суп будет слишком жидким. Почему банки одинакового размера и массы должны катиться по склону с разной скоростью? И почему самый густой суп должен вариться медленнее всего?

    Самый простой способ ответить на эти вопросы — рассмотреть энергию.Предположим, что каждая банка начинает спускаться по пандусу из состояния покоя. Каждая банка, стартующая из состояния покоя, означает, что каждая из них стартует с одинаковой гравитационной потенциальной энергией, которая полностью преобразуется в при условии, что каждый катится без проскальзывания. однако может принимать форму или , а общее количество является суммой двух. Если банка скатывается по пандусу, она отдает часть своей энергии на вращение, оставляя меньше на перемещение. Таким образом, банка движется медленнее, чем если бы она соскользнула вниз. Кроме того, жидкий суп не вращается, в отличие от густого супа, потому что он прилипает к банке.Таким образом, густой бульон вкладывает во вращение больше первоначальной гравитационной потенциальной энергии банки, чем жидкий суп, и банка катится медленнее, как показано на рис. 6.

    Рис. 6. Три банки с супом одинаковой массы мчатся вниз по склону. Первая банка имеет антифрикционное покрытие и не катится, а просто скользит по склону. Он выигрывает, потому что преобразует весь свой PE в трансляционный KE. И вторая, и третья банки катятся по склону, не скользя. Вторая банка содержит жидкий суп и занимает второе место, потому что часть ее исходного PE идет на вращение банки (но не жидкого супа).В третьей банке густой суп. Он занимает третье место, потому что суп вращается вместе с банкой, забирая еще больше исходного PE для вращательного KE, оставляя меньше для поступательного KE.

    При отсутствии потерь на трение работу совершает только одна сила — сила тяжести. Следовательно, полная совершенная работа есть изменение кинетической энергии. Когда банки начинают двигаться, потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию. Сохранение энергии дает

    Точнее,

    или

    Итак, начальная делится на поступательную кинетическую энергию и вращательную кинетическую энергию; и чем больше, тем меньше энергии уходит на трансляцию.Если банка скользит вниз без трения, то и вся энергия идет на поступательное движение; таким образом, банка идет быстрее.

    ДОМАШНИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

    Найдите несколько банок, каждая из которых содержит разные виды еды. Во-первых, предскажите, какая из них выиграет гонку по наклонной плоскости, и объясните, почему. Проверьте, верен ли ваш прогноз. Вы также можете провести этот эксперимент, собрав несколько пустых цилиндрических контейнеров одинакового размера и наполнив их разными материалами, такими как влажный или сухой песок.

    Пример 3. Расчет скорости цилиндра, катящегося по склону

    Рассчитайте конечную скорость сплошного цилиндра, катящегося по склону высотой 2,00 м. Цилиндр стартует из состояния покоя, имеет массу 0,750 кг и радиус 4,00 см.

    Стратегия

    Мы можем найти конечную скорость, используя закон сохранения энергии, но мы должны сначала выразить величины вращения через величины поступательного движения, чтобы получить vv как единственное неизвестное.

    Раствор

    Сохранение энергии для этой ситуации записывается, как описано выше:

    Прежде чем мы сможем решить для, мы должны получить выражение для из главы 10.3 Создание соединений. Поскольку и связаны между собой (заметим, что цилиндр катится без проскальзывания), мы также должны подставить отношение в выражение. Эти замены дают

    Интересно, что радиус и масса цилиндра сокращаются, что дает

    Алгебраическое решение уравнения для конечной скорости дает

    Подстановка известных значений в результирующее выражение дает

    [размер латекса = ”4″][[/латекс] [размер латекса = ”4″]][/латекс]

    Обсуждение

    Так как и отменить, результат действителен для любого твердого цилиндра, подразумевая, что все твердые цилиндры будут катиться вниз по склону с одинаковой скоростью, независимо от их массы и размеров.(Качение цилиндров вниз по склону — это то, что на самом деле сделал Галилей, чтобы показать, что объекты падают с одинаковой скоростью независимо от массы.) Обратите внимание, что если цилиндр скользит без трения вниз по склону без качения, то вся гравитационная потенциальная энергия переходит в поступательную кинетическую энергию. . Таким образом, а это на 22% больше, чем То есть, цилиндр будет двигаться быстрее в нижней части.

    Проверьте свое понимание

    Аналогия вращательной и поступательной кинетической энергии

    1: Является ли кинетическая энергия вращения полностью аналогичной кинетической энергии поступательного движения? В чем их отличия, если они есть? Приведите пример каждого вида кинетической энергии.

    ИССЛЕДОВАНИЯ PHET: МОЯ СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА

    Построй свою собственную систему небесных тел и смотри гравитационный балет. С помощью этого симулятора орбиты вы можете установить начальные положения, скорости и массы 2, 3 или 4 тел, а затем увидеть, как они вращаются вокруг друг друга.

    Рисунок 7. Моя солнечная система

    Концептуальные вопросы

    1: Опишите преобразования энергии, происходящие, когда йо-йо бросают вниз, а затем поднимаются вверх по веревке, чтобы попасть в руку пользователя.

    2: Какие преобразования энергии происходят, когда двигатель драгстера раскручивается, сцепление быстро отпускается, колеса крутятся, и он начинает ускоряться вперед? Опишите источник и преобразование энергии на каждом этапе.

    3: Сейчас у Земли больше кинетической энергии вращения, чем у облака газа и пыли, из которого она образовалась. Откуда взялась эта энергия?

    Рис. 8. Огромное облако вращающегося газа и пыли сжалось под действием гравитации, образовав Землю, и в процессе кинетическая энергия вращения увеличилась.(кредит: НАСА)

    Задачи и упражнения

    1: В этой задаче рассматриваются энергетические и рабочие аспекты примера 1 главы 10.3 — используйте данные из этого примера по мере необходимости. (a) Рассчитайте кинетическую энергию вращения карусели плюс ребенок, когда они имеют угловую скорость 20,0 об/мин. (b) Используя энергетические соображения, найдите число оборотов, которое отец должен будет совершить, чтобы достичь этой угловой скорости, начиная с состояния покоя. в) Опять же, исходя из энергетических соображений, вычислите силу, которую должен приложить отец, чтобы остановить карусель за два оборота

    2: Какова конечная скорость обруча, который катится без соскальзывания 5.Горка высотой 00 м, начиная с отдыха?

    3: (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

    4: Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла (рис. 6), если его угловая скорость равна 120 рад/с. Предположим, что M = 12,0 кг, R 1 = 0,280 м и R 2 = 0,330 м.

    5: Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором происходит вращение предплечья вокруг локтевого сустава, а также другие движения.Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава равна 20,0 м/с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья равен, какова кинетическая энергия вращения предплечья?

    6: При ударе по футбольному мячу кикер вращает ногой вокруг тазобедренного сустава. Момент инерции ноги равен, а ее кинетическая энергия вращения равна 175 Дж. а) Чему равна угловая скорость ноги? б) Какова скорость носка ботинка игрока, если она равна 1.05 м от тазобедренного сустава? (c) Объясните, как можно придать футбольному мячу скорость, превышающую скорость кончика бутсы (что необходимо для приличной дистанции удара).

    7: Автобус содержит маховик массой 1500 кг (диск с радиусом 0,600 м) и имеет общую массу 10 000 кг. (a) Рассчитайте угловую скорость, которую должен иметь маховик, чтобы содержать достаточно энергии, чтобы разогнать автобус из состояния покоя до скорости 20,0 м/с, предполагая, что 90,0 % кинетической энергии вращения может быть преобразовано в энергию поступательного движения.(b) На какую высоту может подняться автобус с этой запасенной энергией, сохраняя при этом скорость 3,00 м/с на вершине холма? Подробно покажите, как вы выполняете шаги, описанные в стратегии решения проблем для энергии вращения.

    8: Мяч с начальной скоростью 8,00 м/с катится в гору без скольжения. Рассматривая мяч как сферическую оболочку, вычислите высоту, которой он достигает по вертикали. (b) Повторите расчет для того же мяча, если он скользит вверх по склону, не катясь.

    9: Во время тренировки в фитнес-центре мужчина ложится лицом вниз на скамью и поднимает вес одной голенью, задействуя мышцы задней поверхности бедра. а) Найдите угловое ускорение, возникающее при поднятой массе 10,0 кг на расстоянии 28,0 см от коленного сустава, моменте инерции голени при мышечной силе 1500 Н и эффективном перпендикулярном плече рычага 3,00. см. б) Какую работу совершают, если нога поворачивается на угол с постоянной силой, действующей на мышцу?

    10: Для развития мышечного тонуса женщина поднимает в руке гирю массой 2,00 кг. Она использует свою двуглавую мышцу, чтобы согнуть предплечье под углом (а) Каково угловое ускорение, если вес равен 24.На расстоянии 0 см от локтевого сустава ее предплечье имеет момент инерции , а результирующая сила, которую она прилагает, составляет 750 Н при эффективном перпендикулярном плече рычага 2,00 см? б) Сколько работы она выполняет?

    11: Рассмотрим два цилиндра, которые начинают спускаться с одинакового наклона из состояния покоя, за исключением того, что один из них не имеет трения. Таким образом, один цилиндр катится без проскальзывания, а другой скользит без трения без качения. Они оба проходят небольшое расстояние внизу, а затем начинают новый подъем.(a) Покажите, что они оба достигают одинаковой высоты на другом склоне и что эта высота равна их первоначальной высоте. б) Найдите отношение времени, за которое катящийся цилиндр достигает высоты на втором уклоне, к времени, за которое скользящий цилиндр достигает высоты на втором наклоне. в) Объясните, почему время качения больше времени скольжения.

    12: Чему равен момент инерции тела, катящегося без соскальзывания 2.Наклон высотой 00 м, начиная с состояния покоя, и имеет конечную скорость 6,00 м/с? Выразите момент инерции как кратное где – масса тела и – его радиус.

    13: Предположим, что 200-килограммовый мотоцикл имеет два колеса, подобные описанному в задаче 10.15, и движется к холму со скоростью 30,0 м/с. а) Как высоко он может подняться в гору, если пренебречь трением? б) Сколько энергии теряется на трение, если мотоцикл набирает высоту всего 35,0 м, прежде чем остановиться?

    14: В софтболе питчер выполняет бросок с полностью вытянутой рукой (прямо в локте). При быстрой подаче мяч покидает руку со скоростью 139 км/ч. (a) Найдите кинетическую энергию вращения руки питчера, если момент ее инерции равен, а мяч покидает руку на расстоянии 0,600 м от оси вращения у плеча. б) Какую силу приложили мышцы, чтобы заставить руку вращаться, если их эффективное перпендикулярное плечо рычага равно 4,00 см, а вес мяча равен 0,156 кг?

    15: Создайте свою собственную задачу

    Рассмотрим работу, выполняемую вращающимся фигуристом, стягивающим руки, чтобы увеличить скорость вращения.Составьте задачу, в которой вы вычисляете работу, выполненную с помощью вычисления «сила, умноженная на расстояние», и сравниваете ее с увеличением кинетической энергии фигуриста.

    Глоссарий

    теорема работы-энергии
    если одна или несколько внешних сил действуют на твердый объект, вызывая изменение его кинетической энергии от до, то работа, совершаемая результирующей силой, равна изменению кинетической энергии
    вращательная кинетическая энергия
    кинетическая энергия за счет вращения объекта. Это часть его полной кинетической энергии

    Решения

    Проверьте свое понимание

    1: Да, вращательная и поступательная кинетическая энергия – точные аналоги. Обе они представляют собой энергию движения, связанную с согласованным (неслучайным) движением массы относительно некоторой системы отсчета. Единственная разница между вращательной и поступательной кинетической энергией заключается в том, что поступательное движение — это прямолинейное движение, а вращательное — нет.Пример как кинетической, так и поступательной кинетической энергии можно найти в велосипедной шине при езде по велосипедной дорожке. Вращательное движение шины означает, что она имеет вращательную кинетическую энергию, а движение велосипеда по пути означает, что шина также имеет поступательную кинетическую энергию. Если бы вы подняли переднее колесо велосипеда и вращали его, когда велосипед неподвижен, то колесо имело бы только кинетическую энергию вращения относительно Земли.

    Задачи и упражнения

    1:

    (а) 185 Дж

    (б) 0.0785 ред.

    (в)

    3:

    (а)

    (б)

    5:

    7:

    (а)

    (б)

    9:

    (а)

    (б)

    14:

    (а) 1,49 кДж

    (б)

     

    12. КАТАНИЕ, КРУТЯЩИЙ И КРУТОЙ МОМЕНТ

    12. КАТАНИЕ, КРУТЯЩИЙ И КРУТОЙ

    Рис. 12.1. Вращательное движение колеса

    Колесо, катящееся по поверхности, имеет как линейное, так и вращательное движение. скорость. Предположим, что угловая скорость колеса равна [omega]. То задана соответствующая линейная скорость любой точки на ободе колеса по

    где R — радиус колеса (см. рис. 12.1). Когда колесо соприкасается с землей, его нижняя часть покоится относительно земля. Это означает, что кроме вращательного движения колесо совершает прямолинейное движение со скоростью, равной + v см (см. рис. 12.2). Делаем вывод, что верхушка колеса движется в два раза быстрее, чем центр, а нижняя часть колеса вообще не движется.

    Рисунок 12.2. Движение колеса есть сумма вращательного и поступательного движение.

    Альтернативный способ взглянуть на движение колеса состоит в том, чтобы рассматривать его как чистое вращение (с той же угловой скоростью [омега]) вокруг мгновенной стационарная ось через низ колеса (точка Р, рис. 12.3).

    Рисунок 12.3. Движение колеса вокруг оси через п.

    Кинетическая энергия колеса, показанного на рис. 12.3, может быть легко рассчитана. используя формулы, полученные в главе 11

    где I P – момент инерции вращения вокруг оси через P, а [omega] — скорость вращения колеса. Вращательная инерция вокруг оси, проходящей через P, I P , связано с инерцией вращения вокруг оси, проходящей через центр масс I см

    Кинетическая энергия колеса теперь может быть переписана как

    .

    где первый член представляет собой кинетическую энергию, связанную с вращением колеса вокруг оси, проходящей через его центр масс, а второй член равен связано с поступательным движением колеса.

    Пример задачи 12-1

    На рис. 12.4 показан диск массой М и инерцией вращения I, стоящий на наклонной поверхности. самолет. Масса выпущена с высоты h. Какова его конечная скорость в днище самолета?

    Диск выходит из состояния покоя. Его полная механическая энергия в этой точке равна равна его потенциальной энергии

    Когда диск достигает нижней части плоскости, весь его потенциал энергия превращается в кинетическую энергию. Кинетическая энергия диска будет состоят из вращательной и поступательной кинетической энергии:

    Момент инерции диска равен

    где R – радиус диска. Кинетическая энергия диска может теперь переписать как

    Рисунок 12.4. Масса на наклонной плоскости.

    Из закона сохранения механической энергии следует, что E i = Е ф или

    Это показывает, что скорость диска равна

    .

    Рассмотрим теперь два разных диска с одинаковой массой М, но разными моменты инерции.В этом случае конечная кинетическая энергия может быть записана как

    .

    Сохранение энергии теперь требует, чтобы

    или

    Делаем вывод, что в этом случае диск с наименьшим моментом инерция имеет наибольшую конечную скорость .

    Рисунок 12.5. Задача 13П.

    Проблема 15P

    Небольшой твердый шарик массой m и радиусом r катится, не скользя, по дорожка loop-the-loop, показанная на рисунке 12.5, освобожденный от отдыха где-то на прямом участке пути. С какой минимальной высоты над низом дорожки должен быть отпущен шарик, чтобы не уходить дорожка в верхней части петли.

    Шарик не сойдет с дорожки в верхней части петли, если центростремительный сила превышает силу тяжести в этой точке:

    или

    Кинетическая энергия шарика наверху состоит из вращения. и поступательная энергия

    где мы предполагали, что шарик катится по дорожке (нет скольжение).Момент инерции шарика равен

    .

    Используя это выражение, получаем для кинетической энергии

    Мрамор достигнет вершины, если

    Полная механическая энергия шарика в верхней части петля-петля равна

    Начальная энергия шарика — это просто его потенциальная энергия при высота h

    Сохранение энергии теперь подразумевает, что

    или

    Пример задачи 12-2: йо-йо

    Рисунок 12. 6. Йо-йо.

    На рис. 12.6 показан схематический рисунок йо-йо. Какова его линейность ускорение?

    На йо-йо действуют две силы: направленная вверх сила, равная натяжению в шнуре и сила тяжести. Ускорение системы зависит от этих двух сил:

    Вращательное движение йо-йо определяется крутящим моментом. натяжением T (момент силы тяжести равен нулю)

    Вращательное ускорение a связано с линейным ускорением а:

    Теперь мы можем записать следующие уравнения для натяжения T

    Теперь можно рассчитать линейное ускорение a

    Таким образом, йо-йо катится по струне с постоянным ускорением.Ускорение можно уменьшить, увеличив инерцию вращения и за счет уменьшения радиуса оси.

    Рисунок 12. 7. Движение частицы P в плоскости x-y.

    Частица массы m движется в плоскости x-y (см. рис. 12.7). А на частицу действует единственная сила F, а угол между этой силой и вектор положения равен [phi]. По определению крутящий момент, действующий под действием этой силы на масса по отношению к началу нашей системы координат равна

    и

    где r [invtee] называется плечом силы F относительно происхождения.Согласно определению векторного произведения, вектор [тау] лежит параллельно оси z, и его направление (либо вверх, либо вниз) можно определить по правилу правой руки. Крутящий момент определяется таким образом имеет значение только по отношению к определенному источнику. Направление крутящий момент всегда перпендикулярен плоскости, образованной векторами r и F. Крутящий момент равен нулю, если r = 0 м, F = 0 Н или r параллельно или антипараллельно Ф.

    Угловой момент L частицы P на рисунке 12. 7, в отношении происхождения, определяется как

    Это определение подразумевает, что если частица движется прямо от начала координат или непосредственно к нему угловой момент, связанный с это движение равно нулю. Частица будет иметь другой угловой момент, если источник выбран в другом месте. Частица, движущаяся по окружности, будет имеют угловой момент (относительно центра окружности), равный

    Мы снова замечаем сходство между определением линейного импульса и определение углового момента.

    Частица может иметь угловой момент, даже если она не движется в круг. Например, на рис. 12.8 показано расположение и направление импульса частицы P. Угловой момент частицы P относительно происхождение указывается как

    Рисунок 12.8. Угловой момент частицы P.

    Изменение углового момента частицы можно получить по формуле дифференцирование уравнения для l по времени

    Делаем вывод, что

    Это уравнение показывает, что , если чистый крутящий момент, действующий на частицу, равен нуля, его угловой момент будет постоянным .

    Пример задачи 12-3

    На рис. 12.9 показан объект Р в свободном падении. Объект выходит из состояния покоя в положение, указанное на рис. 12.9. Каков его угловой момент относительно к происхождению, как функция времени?

    Скорость объекта P как функция времени определяется как

    Угловой момент объекта P равен

    .

    Поэтому

    который равен моменту силы тяжести относительно Происхождение.

    Рисунок 12.9. Свободное падение и угловой момент

    Рисунок 12.10. Пара действие-реакция.

    Если мы посмотрим на систему частиц, полный угловой момент L системы представляет собой векторную сумму угловых моментов каждого из отдельных частицы:

    Изменение полного углового момента L связано с изменением угловой момент отдельных частиц

    Некоторые крутящие моменты являются внутренними, некоторые внешними. внутренний крутящие моменты приходят парами, и их векторная сумма равна нулю. Это показано на рис. 12.10. На рис. 12.10 показаны частицы А и В, которые взаимодействуют через центральную силу. Третий закон Ньютона гласит, что силы приходят пары: если B прикладывает силу F AB к A, то A приложит силу F BA на B. F AB и F BA связаны как следует

    Крутящий момент, создаваемый каждой из этих сил по отношению к началу координат, легко вычисляется

    и

    Ясно, что эти два крутящих момента в сумме дают ноль

    Чистый крутящий момент для каждой пары действие-реакция по отношению к происхождения, равна нулю.

    Делаем вывод, что

    Это уравнение является еще одним способом выражения второго закона Ньютона. в угловых величинах.

    Предположим, мы имеем дело с твердым телом, вращающимся вокруг оси z. То линейный импульс каждого элемента массы параллелен плоскости xy, и перпендикулярно вектору положения. Величина углового момента этот массовый элемент равен

    Z-компонента этого углового момента определяется как

    Z-компонента полного углового момента L твердого тела может получить суммированием по всем элементам массы тела

    Из определения инерции вращения твердого тела можно сделать вывод, что

    Это проекция полного углового момента на вращение ось.Вращательная инерция I в этом уравнении также должна быть рассчитана с помощью относительно той же оси вращения. Только если ось вращения является симметрией оси твердого тела вектор полного углового момента совпадет с ось вращения.

    Если на систему частиц не действуют внешние силы или если внешний момент равен нулю, полный угловой момент системы сохраняется. То угловой момент остается постоянным, независимо от того, какие изменения происходят внутри система.

    Проблема 54E

    Вращательная инерция коллапсирующей вращающейся звезды изменяется до одной трети его начальное значение. Каково отношение новой кинетической энергии вращения к начальная кинетическая энергия вращения ?

    Конечная инерция вращения I f связана с начальной инерция вращения I i следующим образом

    На систему не действуют никакие внешние силы, а полный момент импульса равен законсервированный

    Начальная кинетическая энергия вращения равна

    Конечная кинетическая энергия вращения определяется как

    Рисунок 12. 11. Задача 61П.

    Проблема 61P

    Таракан массой m бегает против часовой стрелки по краю ленивого Сьюзен (круглая тарелка, установленная на вертикальной оси) радиуса R и вращающаяся инерционная I с подшипниками качения. Скорость таракана (относительно земля) равна v, тогда как ленивая Сьюзен вращается по часовой стрелке с угловой скоростью [омега] 0 . Таракан находит на ободе хлебный мякиш и, конечно, останавливается.а) Какова угловая скорость ленивой Сьюзен после тараканы останавливаются? б) Сохраняется ли механическая энергия?

    Предположим, что ленивая Сьюзен расположена в плоскости x-y (см. рис. 12.11). Линейный импульс таракана равен m . v. Угловой момент таракана по происхождению определяется как

    Направление углового момента можно найти с помощью правой правило.Направление оси z выбрано так, чтобы угловой момент таракан совпадает с положительной осью z. Ленивая Сьюзен движется по часовой стрелке (см. рис. 12.11), а его угловой момент указывает вдоль отрицательная ось Z. Его угловой момент равен

    .

    где I — инерция вращения тарелки. Обратите внимание, что, поскольку вращение по часовой стрелке, [омега] 0 меньше нуля. Общая угловой момент системы равен

    Вращательная инерция тарелки плюс таракан определяется как

    Поскольку внешний момент, действующий на систему, равен нулю, угловой момент сохраняется.Скорость вращения системы после остановка тараканов предоставляется по номеру

    Начальная кинетическая энергия системы равна

    Конечная кинетическая энергия системы равна

    Изменение кинетической энергии системы равно

    Изменение кинетической энергии системы отрицательно, и мы сделать вывод, что механическая энергия не сохраняется. Потеря механич. энергия возникает за счет работы силы трения между поверхностями ленивая Сьюзен и лапки таракана.

    Рисунок 12.12. Прецессирующая вершина.

    Волчок, приведенный в движение, будет медленно вращаться вокруг вертикальной оси. Это движение называется прецессией. Для любой точки на оси вращения вверху вектор положения параллелен вектору углового момента.

    Вес волчка создает внешний крутящий момент относительно начала координат (т. система координат определена так, что начало координат совпадает с контактом точка вершины на полу, см. рисунок 12.12). Величина этого крутящего момента это

    Направление крутящего момента перпендикулярно вектору положения и к силе. Это также означает, что крутящий момент перпендикулярен угловой момент волчка. Внешний крутящий момент вызывает изменение угловой момент системы

    Это уравнение показывает, что изменение углового момента dL, которое происходит за время dt, которое должно указывать в том же направлении, что и вектор крутящего момента. Поскольку крутящий момент находится под прямым углом к ​​L, он не может изменить величину L, но он может изменить свое направление. Результатом является вращение углового вектор импульса вокруг оси z. Угол прецессии d[phi] связан с изменение углового момента системы:

    Это показывает, что скорость прецессии равна

    Это уравнение показывает, что чем быстрее волчок вращается, тем медленнее он прецессия.Кроме того, прецессия равна нулю, если g = 0 м/с 2 и прецессия не зависит от угла [тета].


    Присылайте комментарии, вопросы и/или предложения по электронной почте [email protected] и/или посетите домашнюю страницу Frank Wolfs.

    Маховики – Кинетическая энергия

    Маховик можно использовать для сглаживания колебаний энергии и обеспечения более равномерного потока энергии в прерывистой рабочей машине. Маховики используются в большинстве поршневых двигателей внутреннего сгорания.

    Энергия механически сохраняется в маховике в виде кинетической энергии.

    Кинетическая энергия

    Кинетическая энергия в маховике может быть выражена как

    E F = 1/2 I ω 2 (1)

    где

    E F = маховик Кинетическая энергия (NM, Joule, FT LB)

    I = момент инерции (кг М 2 , LB FT 2 )

    ω = угловая скорость (RAD / S)

    Угловая скорость — конвертировать единицы измерения
    • 1 рад = 360 o / 2 π =~ 57.29578 o
    • 1 рад/с = 9,55 об/мин (об/мин) = 0,159 об/с (об/с)

    Момент инерции

    Быть выражены как

    I = KMR 2 (2)

    , где

    k = инерционная константа – зависит от формы маховика

    м = масса маховика (кг, фунт м )

    r = радиус (м, фут)

    Инерционные постоянные некоторых распространенных типов маховиков равномерной толщины – k = 0. 606

  • плоский диск с центральным отверстием – k = ~0,3
  • сплошная сфера – k = 2/5
  • тонкий обод – k = 0,5

    55/

    стержень радиальный

  • круглая щетка – k = 1/3
  • тонкостенная полая сфера – k = 2/3
  • тонкий прямоугольный стержень – k = 1/2
  • 9004
    • 1 кг м 2 = 10000 кг см 2 = 54675 унций в 2 = 3417.2 фунт в 2 = 23.73 LB FT 2

    Материалы ротора маховика

      • 1 MPA = 10 6 PA = 10 6 N / M 2 = 145 PSI
      • Marage стали представляют собой безуглеродистые железоникелевые сплавы с добавками кобальта, молибдена, титана и алюминия. Термин старение происходит от механизма упрочнения, который превращает сплав в мартенсит с последующим старением.

      Пример — Энергия во вращающемся велосипедном колесе

      Типичный 26-дюймовый обод велосипедного колеса имеет диаметр 559 мм (22.

      Добавить комментарий